摘要：dx和dy只是古典微积分里的两个概念。不是极限微积分的。（其实有的时候，d并不好用来思考，它不够明确，需要翻译成极限语言。）

dx和dy只是古典微积分里的两个概念。不是极限微积分的。（其实有的时候，d并不好用来思考，它不够明确，需要翻译成极限语言。）

两个之间可以翻译一下的，右边是导数的正式定义。

是用极限来明晰了，d、逼近这种模糊的概念。且右边的式子根本不存在无穷小悖论了，也根本不含”无穷小“，我们讨论极限就是避免矛盾存在。

讨论无穷小量是啥根本没有意义，讨论无穷小量是不是零更无趣。

In fact, the only reason people introduce a new variable name into this formal definition, rather than just using dx, is to be super-extra clear 取值变化量h只是一个普通的数字，和无穷小没有半毛钱的关系。

再次，想，极限定义的无穷小到底是个啥。

我们只是讨论当h逼近0时，这个结果是多少，h是0的情况跟我们一点关系都没有。

具体的、有限小的变化量。

无穷小不是最重要的那个，极限才是！

敏锐地发现了双侧极限。这是很合理的，更加印证了结果只与x趋近于那个点有关，和x等于那个点无关。

其实极限的正式定义就是两个十字架，然后逼近， 竖线逼近x值， 横线逼近y值。

如果两个十字架完美重合/无限趋近，那么极限存在。

And this perspective of shrinking an input range around the limiting point, and seeing whether or not you are restricted in how much that shrinks the output range.

翻译成数学语言就是极限的ε-δ定义。

你可能认为这既繁琐又没有意义，但从这里，我们可以瞥见实分析的冰山一角，也会让你们体验数学家是如何把直觉中的微积分理念完善细致的。

洛必达法则，其实就是去求函数的微分，就是函数可微。然后再把dx约掉，然后就是导数比导数。

再来想想什么是可微。

一元函数，只要导数存在就说明可以微分。因为微分系数一定存在，dx本来就在。（且连续）。

前提是你得是0/0型的。为什么？

我们现在要求极限：

注意！是求它的极限，不是求它的导数还是什么的。

就是你要确定自己明白是在求x趋近于1这一点的极限值。

所以，一个具体点的值与d有什么关系呢？所以说我们需要0.

因为我们有一种很直观的方法：去求该函数在x=1附近的点的值，比如1.0000001。那么只要在该点等于零，dy就是附近的点的具体值，而不需要“某个数”+dy。所以只有0/0型才能这么干。

同样的解释可以用来解释：为什么分母是0分子不是0的时候，总会牵扯到垂直渐近线。

再代入x=1

数学的很多东西，你不能让它在你心中觉得这个东西很“神秘”，很“晦涩难懂”，很“可望不可及”，不然数学永远是高高在上的，永远是困难的，永远是魔鬼一样的东西。要彻底理解它，看透它，有一种“啊，其实这个东西很直观、很合理、很好理解”的感觉，你才会再运用它的时候拿捏住它。才能永远地记在你的脑子里，而不是死记硬背，背了就忘。

所以很显然，洛必达法则不是什么万能法则，不是不知道怎么做了就来洛必达，只是在某种特殊情况的创新做法和小技巧而已。

来源：天河柱子哥