摘要：·要研究EH+AG的最小值，所以首先把这两个线段连起来。研究两个线段和的最值问题，要求这两个线段必须有共端点，所以应该平移其中一个线段，让它和另外一个线段拼接起来。所以去平移这个AG，让G点和H点重合，所以此时AG可以转化成了FH。

这个视频由我们一起来看刚刚结束的苏州园区西附联考这道初二数学的填空压轴题。看这个最值问题应该通过什么思路来进行求解？

·矩形ABCD中AB=4，BC=2，E为BC边的中点。H、G分别为边AB和CD上的动点，并且始终保持GHLAE，则EH+AG的最小值应该为多少？

·要研究EH+AG的最小值，所以首先把这两个线段连起来。研究两个线段和的最值问题，要求这两个线段必须有共端点，所以应该平移其中一个线段，让它和另外一个线段拼接起来。所以去平移这个AG，让G点和H点重合，所以此时AG可以转化成了FH。

·接下来应该去研究EH+FH的最小值。由于AG平移到了FH，所以此时AG和FH平行且相等。这样情况下不妨要连接一下AF，因为此时会得到四边形AFHG，它是一个平行四边形，因为它有一组对边，也就是AG和FH平行且相等。

题目已知GH和AE是垂直的，GH和AF平行，两直线平行应该内错角相等，所以此时FAE也应该为直角。H点是一个定点，但是需要去研究这个F点，看它是一个定点还是一个动点，因为它是一个平行四边形。可以知道这个AF应该是=GH长度的，所以去研究GH长度，看它是否为一个定值。

这个题给的题干是一个矩形，然后内部有两个线段垂直，这是一个典型的矩形十字架模型。这个西附的这套试卷是考到了相似的，学了相似以后就会讲到一个矩形中的内含十字架模型。根据矩形内含十字架模型，指的是垂直这两个线段，GH和AE的比，恰好等于矩形的两条边长的比，矩形的边长AB=4、BC=2，所以此时GH和AE的比应该为1：2。

要研究GH，所以接下来应该去求AE。题目已知AB=4、BC=2，E为BC的中点，所以此时CE和BE应该分别都为1。

根据勾股定理，首先可以求出来AE应该为√17/2，GH和AE的比是1：2，这样GH应该为√17/2，这样AF也应该为√17/2。因为平行四边形的两组对边分别相等，AE是一条定线段，F所在的这条线段，AF必须和AE垂直，而且AF是一个定值，这样F就必然是一个定点。

此时这两个定点都在动点H所在直线AB的异侧，所以直接连接EF，让它们三点公线，此时H点在这个位置，所以EH+FH的最小值就是线段EF的长度。

发现此时图中RtAAEF是一个特殊的Rt△，它的三边比应该是1：2：5，根据特殊的三边比可以直接去求出来EF的长度应该为√85/2，或者也可以通过勾股定理去求EF，所以这个题要求的EH+AG的最小值应该为√85/2。

因为西附的这份联考试卷涉及到了相似问题，所以刚才是通过矩形中的内含十字架模型求出来GH等于1/2的AE。如果没有学到相似这一章节，对于大多数同学这个题也可以去做。

学了平行四边形这一章节，学过了正方形中内含十字架，所以可以把矩形ABCD补成正方形，如图补成这样一个正方形，根据正方形内含十字架模型，此时GQ就等于AE，AE还是跟刚才一样，根据勾股地理去求，AB是4，EB和CE分别为1，A应该为根号17，所以此时GQ=AE，它也应该为根号17。

这个正方形的边长是4，而A、B分别是DM边和CN边的中点，这样GH也应该是GQ的中点，这样GH就应该=1/2的GQ为√17/2。所以通过正方形中十字架模型，也可以研究出来GH始终为一个定值。

这个题你听懂了吗？

来源：小何数学一点号