摘要：大自然在塑造生命形态的过程中，展现出令人叹为观止的几何与力学智慧，而揭示其背后的物理原理，一直是科学、工程、数学乃至艺术等众多领域共同追寻的目标。玫瑰，这一承载深厚美学与文化象征的精神、情感符号，自古以来是无数艺术和文学创作的灵感源泉。然而，令人难以置信的是：
揭示 “玫瑰之美”的数学力学奥秘
研究背景、亮点、意义
大自然在塑造生命形态的过程中，展现出令人叹为观止的几何与力学智慧，而揭示其背后的物理原理，一直是科学、工程、数学乃至艺术等众多领域共同追寻的目标。玫瑰，这一承载深厚美学与文化象征的精神、情感符号，自古以来是无数艺术和文学创作的灵感源泉。然而，令人难以置信的是：何种物理机制造就了玫瑰花如此独具一格的形态竟然未知！
生长和形态深度关联，通常由几何不相容（Geometric incompatibility）引发的力学失稳所介导。过去几十年里， Gauss非相容（Gauss incompatibility）一直被视为自然界纤薄组织演化失稳的几何根源。然而，玫瑰花瓣的生长遵循Gauss相容原理，但其边缘涌现的高度局域化的奇异尖点（Cusp）却促使我们重新审视传统理论——它无法由当前已知的几何机制所解释。
本研究结合理论、实验和数值模拟，发现玫瑰花的生长虽然满足Gauss绝妙定理（Gauss’s Theorema Egregium）但却违反Mainardi-Codazzi-Peterson (MCP)约束——是崭新的MCP阻挫塑造了玫瑰花中象征性的尖点形态！尖点处应力集中与组织生长相互影响，揭示了生命形态背后“几何-力学-生物”的复杂反馈回路。这项工作不仅首次在自然系统中识别出MCP阻挫及其生物效应，还为设计可自变形的人工结构材料提供了新的几何原理。它拓宽了我们对生命形态演化的理解，也为工程、仿生和美学设计提供了灵感。
图1. 绽放的玫瑰花与涌现的尖点(Cusp)。随生长进程增加，玫瑰花瓣沿径向卷曲严重，其边缘由圆滑逐渐转变为多边形状，从而涌现出尖点。
几何非相容与MCP 阻挫
通常，几何非相容是指描述同一系统的多个几何量（状态），无法在不使系统发生“畸变”（Distortion）的情形下同时被满足/实现，这通常是由该系统所处的空间性质（约束）决定的。无论是在3D体材料还是在薄片中，固体中的几何非相容描述的都是材料的各项“首选”内部构型，在我们的3D欧几里得空间（R^3）中无法同时实现的情形。其结果就是：材料必须发生变形。这在生长系统中尤为常见，有趣的3D例子包括内层比外层膨胀得更快的胡萝卜，沿纵向切成四瓣后，其切块会向外弯曲——一种不切开就无法实现的“偏好”形状。对于纤薄组织来说，情况变得更加生动。比如边缘比内部生长得更快的植物叶子，叶片中的线元会呈现出“既偏好弯曲又想要平坦”的阻挫状态——即所谓的高斯不相容性。过去几十年间，它扮演了几乎所有自然纤薄组织以及人工响应材料中样式生成的几何根源，一直被认为是理解自然界形变机理及设计可变形材料的主流范式。然而，玫瑰花却在这一范式之外。
在R^3中，对一个平滑嵌入的曲面，其度量张量（定义面内线元长度和夹角）与曲率张量（描述面外法向量变化）均需满足三组几何相容方程：（1）Gauss绝妙定理——要求由度量与曲率张量计算的Gauss曲率必须相等（内禀性质）；（2）两个MCP方程——确保了各点处的法向量可被定义且单值（外禀约束）。当其中一个方程不被满足时，便会发生相应的几何阻挫。玫瑰花瓣的参考度量和曲率满足Gauss方程，但却违反了MCP方程。这一性质可以由其对应的参考流行中，法向量不可以被唯一定义来阐述。等价地，这也可以由平行传输（Parallel transport）中，一点处的法向矢量经历一个环路返回起点后，却具有切向分量来论证。它们均证实：玫瑰花瓣的生长模式使得其参考状态（几何），在不发生畸变的情况下，无法平滑地嵌入R^3。基于对玫瑰花瓣中MCP非相容的剖析，我们在物理花瓣中重现了自然花瓣的完整形态演化，并制作出“绽放着的物理玫瑰花”。
图2. 玫瑰花瓣中Mainardi-Codazzi-Peterson (MCP)阻挫的几何可视化。玫瑰花瓣的参考构型(度量和曲率)违反MCP方程，无法平滑地嵌入3D 欧几里得空间。
图3. 物理（人工）花瓣中的形态演化与MCP阻挫。基于MCP非相容，制备出绽放着的人工玫瑰花。
尖点的几何力学
我们进而研究了尖点轮廓演化的几何力学，及其局部等距破缺——一种应力集中重整化机制。这一机制可媲美于其他经典的“奇点产生及钝化”机理，如开裂（Crack）、折痕（Crease）、d-锥（d-cones）和最小脊（Minimal ridges）等。我们同时探究了奇点处应力集中对组织形貌的影响，提出“几何-力学-生物”的反馈回路：花瓣的对称性生长诱发了MCP非相容，进而导致尖点的涌现和应力集中；反过来，应力集中又进一步影响了局部组织的生长。
图4. 玫瑰花瓣尖点的形态演化与等距破缺机制。花瓣通过破坏尖点局部的等距来降低奇异，以实现进一步的卷曲。
图5. 尖点处自发应力集中对组织的影响及可调控性。自发应力集中可以使得尖点附近边缘由“凸”转为“凹”状形貌。这一影响可由人工移动尖点位置来调控。
总结
我们的研究处于微分几何、力学、软物质物理、发育生物学、材料、机器人和艺术美学等的交叉学科。据我们所知，玫瑰是目前唯一一个由MCP非相容塑造形状的自然系统，但它可能不会是最后一个。这些发现为自然界形态形成和生长调控的基本原理提供了新的元素。通过阐明MCP几何非相容机制，我们不仅增强了对自然形态美学和功能的理解，还为复杂的艺术设计以及工程材料的开发开辟了崭新途径。具体而言，理解 MCP 非相容有望促进响应型材料、自形变结构、智慧器件以及软体机器人等领域的发展——这些领域将“生长”、几何、变形、响应和功能紧密联系在一起。
作者简介：
张亚飞为本文第一作者，现为希伯来大学Racah物理系IASH-CHE博士后，研究方向为“非欧弹性：生长物质的几何和力学”；导师Eran Sharon与Michael Moshe 教授均为本文通讯作者。博士生Omri Y. Cohen为本文第二作者。张亚飞博士毕业于清华大学固体力学所（清华大学优秀博士论文），师从陈常青教授（导师）与郑泉水教授（合作导师）。
来源：高分子科学前沿一点号1