希尔伯特第六问题是什么？时隔125年可能被华人数学家解决

摘要：2025年3月，芝加哥大学的数学家邓煜（Yu Deng）和密歇根大学的扎赫尔·哈尼（Zaher Hani）、马骁（Xiao Ma）在预印本存储库arXiv上发表了一篇论文，声称解决了数学领域的希尔伯特第六问题在流体力学方面的情形。到目前为止，该论文仍在接受同行

2025年3月，芝加哥大学的数学家邓煜（Yu Deng）和密歇根大学的扎赫尔·哈尼（Zaher Hani）、马骁（Xiao Ma）在预印本存储库arXiv上发表了一篇论文，声称解决了数学领域的希尔伯特第六问题在流体力学方面的情形。到目前为止，该论文仍在接受同行评审。据说，如果希尔伯特第六问题真的被解决了，物理学有望实现重大发展。

[论文编号2503.01800] 希尔伯特第六问题：通过玻尔兹曼动力学理论推导流体方程

杰克·默塔（Jack Murtagh ）是一位自由数学作家和谜题创作者。他拥有哈佛大学理论计算机科学博士学位。他为《科学美国人》撰写了一篇关于这篇论文情况文章，对该问题的·解决基本持肯定态度。

数学家刚刚解决了一个有着125年历史的难题，统一了物理学中的三个理论

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希尔伯特第六问题是德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）在1900年举办的第二届国际数学家大会上提出的 10 个未解决的问题之一，这10个问题可以说是指引 20 世纪数学发展的路标之一。后来，他又将他的列表扩展到 23 个问题，它们在过去 125 年中对数学思想的影响怎么强调都不为过。第六问题是所作报告中提出的诸多问题之一，该问题被称为“对物理公理的数学处理”。

在报告中他提到：“数学在其中发挥重要作用的物理科学，应当以类似的方式借助公理来处理，其中首先要提及概率论和力学。（此处内容省略）如果几何学可作为处理物理公理的范例，那么我们首先应尝试用少量公理涵盖尽可能广泛的物理现象类别，然后通过逐步添加新的公理，得出越来越专门化的理论。”

简单来说，物理学是一门阐释自然世界现象的科学。然而，用于解释这些现象的方法和假设可能因人而异，或者存在模糊之处。例如，在计算一个苹果从树上掉落的速度时，如果不明确说明诸如“忽略空气阻力”或者“假设苹果是完美球体”之类的假设条件，那么不同的人得出的答案就会各不相同。

另一方面，数学是一门先对事物进行抽象处理，接着构建严格的定义和逻辑证明，然后清晰界定假设和定义范围的学科。从被称为公理的最基本假设出发，通过演绎推理得出各种定理，进而解决更为复杂的命题。

在第六问题中，希尔伯特提出物理学也应采用同样的数学严谨性，即严格定义诸如“什么是重量？”以及“能量究竟是什么？”等基本概念，然后以此为基础逻辑地构建理论。

例如，我们身边的流体，如空气和水，都是由极其微小的粒子组成的。每个粒子的运动都遵循牛顿力学原理，如果我们知道每个粒子的位置、质量和速度，就能简单地计算出它们在任意给定时刻所处的位置。

另一方面，所有粒子的运动，也就是流体的运动，是由诸如纳维 - 斯托克斯方程（Navier - Stokes equations）这样的非线性运动方程来描述的，这些方程与牛顿运动方程截然不同。流体力学基于连续介质的概念假设，而这一假设尚未得到牛顿力学的证明。

牛顿力学和流体力学之间的一个显著差异是“时间可逆性”。粒子的微观物理定律具有时间可逆性，也就是说，即便时间倒流，这些定律依然成立；然而在流体所在的宏观世界中，这些定律却是时间不可逆的，即如果时间倒流，方程就不再适用。

简而言之，牛顿力学和流体力学都属于物理学范畴，但它们的研究是基于不同的假设条件的。

希尔伯特第六问题提出疑问：能否从遵循牛顿力学的粒子运动出发，以数学的严谨性推导出整个流体运动的定律。

为了解决这一问题，邓煜及其团队成员以数学上严谨的方式，从牛顿力学推导出了描述粒子统计行为的玻尔兹曼方程（Boltzmann equation）。

在流体中，无数粒子会反复发生碰撞。要从数学上严谨地推导出玻尔兹曼方程，就需要追踪每一次粒子碰撞。但如果碰撞次数是无限的，那么计算将永无止境。

目前已经证明，在常规空间中，碰撞次数是有限的。然而在一些特殊的空间里，相同的粒子可能会多次相互碰撞，这使得评估相关概率变得极其困难。正因如此，到目前为止，只能在极短的时间段内推导出该方程。

因此，邓煜（Yu Deng）等人提出了“长程”（long bond）的概念，该概念用于连接时间上间隔足够远的两起碰撞事件，从而能够有效地分析同一粒子间的多次碰撞情况。此外，邓等人引入了“分层簇森林结构”（layered cluster forest structure）和“分子”（molecule）等数学概念，并声称他们成功地在处理“任意长时间跨度”的情形下，更为严谨地推导出了玻尔兹曼方程。

随后，他们论证道，通过推导描述粒子分布情况的玻尔兹曼方程，他们得以从数学层面定义密度、动量、能量等物理量，进而推导出欧拉方程（Euler equations）和纳维 - 斯托克斯方程（Navier - Stokes equations）。

针对这篇论文，邓煜等人表示：“这篇论文的根本意义在于，通过从时间可逆的微观牛顿力学推导出时间不可逆的玻尔兹曼方程，我们能够明确时间不可逆性究竟从何而来。”此外，通过让流体力学中所用的方程在数学上更为严谨，天气预报、飞机设计等领域的模拟计算结果的可靠性有望得到提升。

邓煜在数学领域展现出非凡的才华，他曾代表中国参加国际数学奥林匹克竞赛，并荣获金牌，这是对他数学能力的极高认可。

‌邓煜与马骁、Zaher Hani等数学家合作，被认为有可能攻克了希尔伯特第六问题这一世界级数学难题。这一成就不仅在数学界引发了广泛关注，也在物理界产生了重要影响。

在流体动力学研究中，邓煜致力于构建更加准确的数学模型，以描述复杂流体系统的行为。他创新性地引入非局部相互作用项与概率统计方法，提出了一种新型数学模型，为流体流动控制与优化提供了重要理论支持。

‌报道，邓煜在成长过程中并非一帆风顺，他曾被描述为“小哭包”。然而，正是这样的一个孩子，最终在数学领域取得了如此辉煌的成就，这不禁让人感叹他的成长与蜕变。

邓煜的成长离不开老师的悉心培养。他的数学老师潘淑平等人为他在学习上开了不少“绿灯”，为他提供了宝贵的学习机会和资源。而冯跃峰老师更是几乎把所有的休息时间都花在了培养邓煜这个“好苗子”身上，对他的成长起到了至关重要的作用。

邓煜作为一位杰出的数学家，他的成就不仅体现在个人荣誉上，更在于他对数学领域的贡献。他的研究成果对于推动数学和物理学的发展具有重要意义。同时，他的成长经历也激励着无数年轻人勇敢追求自己的梦想，不畏艰难，勇往直前。

论文的第三作者马骁，2014年考入中国科学技术大学少年班学院，2015年被华罗庚数学科技英才班录取，2023年获普林斯顿大学博士学位，现为密歇根大学Donald J. Lewis助理教授。主要研究领域为分析学与动力学理论，聚焦数学物理中的核心问题。他是邓煜普林斯顿大学的同门师弟；Zaher Hani是他博士后期间的合作老师。

马骁以“不等式爱好者”的用户名在知乎上回答过一些问题，其备注则是“学数学，做数学，爱数学”。他在回答一个相关问题时介绍了论文的主要结论并与用户学术互动。在回答答主“笠道梓”关于长程力情形的疑问时，马骁坦言：“硬球散射本身并不本质，我们的工作很容易推广到具有短程力的位势上面。但是对于长程散射，目前我们的方法需要本质性改进，我们对此理解还不深刻。”

3月13日，在“世界数学日”π day的前一天，论文第一作者邓煜现身知乎，从数学推导和研究历程两个角度展开分享。

邓煜回忆，“2018年底2019年初的时候，我正在做色散方程的随机初值理论，当时跟我还不怎么认识的Hani在芝加哥大学的一次会议上找到我……这个问题当然就是WKE(Wave Kinetic Equation，波动力学方程——记者注）的推导了”，这成为邓煜走上研究希尔伯特第六问题的起源。

邓煜在回答中还讲述了与论文另外一位作者结识的过程，“2022年12月在纽约有个Simons collaboration meeting（西蒙斯基金会科研合作组及会议——记者注），当时我和马骁聊了两句，感觉他对我们WKE工作的理解很深刻，正好他是我老板Ionescu的学生”，邓煜之后果断将马骁拉进了团队，“事实证明这是极为正确的决定……如果没有他加盟我们至少会多走很多弯路”。

马骁也介绍了论文的进展情况，称最关键的文章于2024年投稿，“目前还没有收到反馈”。由于有专家反馈文章有些部分比较艰深难懂，论文团队目前正在写一些注释与简化证明。马骁也透露，“审稿可能还需要几个月到一年左右才能完成”。