摘要：1906 年 9 月 30 日下午，200,000 名巴黎人聚集在市中心附近，观看世界上最负盛名的气球比赛的首映式。来自 7 个国家的 16 名在世最伟大的飞行员的目标是在着陆前尽可能远地飞行，除了一个氢气释放阀来控制他们的飞行器外，别无他物。
1906 年 9 月 30 日下午，200,000 名巴黎人聚集在市中心附近，观看世界上最负盛名的气球比赛的首映式。来自 7 个国家的 16 名在世最伟大的飞行员的目标是在着陆前尽可能远地飞行，除了一个氢气释放阀来控制他们的飞行器外，别无他物。
当每个 50 英尺高的黄色和琥珀色气球升空时，天气再平静不过了。但是，在太阳下山，观众散去后，风向发生了变化，将气球猛烈地吹散在诺曼底周围，穿过英吉利海峡进入英格兰。
宇航员无意中参与了一项将改变数学物理学进程的实验。近二十年后，一位名叫刘易斯·弗莱·理查森 （Lewis Fry Richardson） 的贵格会科学家在研究湍流天气的影响时，在《航空杂志》上发现了他们着陆点的表格。他绘制了气球数据，以及他自己收集的火山喷发后火山灰运动和随风吹动的蒲公英种子轨迹的数据。
在每一次事件中，他都观察到相同的模式：地球大气层的大尺度和小尺度的湍流漩涡以惊人的效率分散了物体。理查森继续写了一条关于这个过程如何运作的一般定律，100 多年后，数学家们仍在努力证明这一定律。
湍流是现代科学中最大的谜团之一。模拟流体流动（从河流到气流）的方程式可以追溯到两个世纪前，当流体平稳移动时，它们会很好地工作。但是当流动变得湍流时，流体会分裂成漩涡和漩涡，进而形成更小的漩涡。这种模式在越来越小的尺度上继续存在，直到分子碰撞最终阻止漩涡形成。这些不同大小的涡旋都会相互影响，因此无法使用方程来模拟流体的行为。我们根本无法知道流体中的给定粒子（或者说，掉进汹涌的河流中的橡皮鸭）接下来会做什么。
通过收集数据和在计算机上模拟流体，物理学家已经能够推断出湍流的一些特性。但数学家往往无法证明这些说法。湍流的数学之谜是价值 100 万美元的千禧年奖问题的核心，这是数学面临的最大挑战之一。
The aim of the Gordon Bennett Cup is to fly a gas ballon as far as possible from the launch site. The 1908 race seen here began in Berlin.
INTERFOTO/Alamy Stock Photo
理查森提出了另一个关于湍流的说法。他假设，如果你把两只橡皮鸭扔进河里，它们会被带得越来越远，速度会比你想象的要快得多。所有这些漩涡和漩涡的相互作用会给鸭子带来特殊的推动力。
今天，这种被称为超扩散的增强散射被视为湍流的标志。但直到最近，它还没有得到严格的证明——即使在高度简化的流体模型中也是如此。
去年终于改变了这种情况。三位数学家首次证明了粒子落在简化的湍流流体中确实表现出 Superdiffusion（打开新标签页）：它们以一种可预测但异常快速的方式分散。
“我认为这将被证明是湍流数学最重要的事情之一，”他说弗拉德·维科尔（打开新标签页），他是纽约大学 Courant 研究所的数学家，没有参与这项工作。
但要斯科特·阿姆斯特朗（打开新标签页）Courant Institute 的数学家和新论文的作者之一，其结果远不止湍流。在过去的十年里，他一直在宣传一种神秘的数学技术的潜力。他坚决认为，这种技术比数学家意识到的要强大得多——这一说法遭到了许多同行的怀疑。现在，在用这种技术来应对湍流之后，他希望开始改变人们的想法。
阿姆斯特朗没想到他的研究会涉及湍流。“十年前，我不知道什么是湍流，”他说。“在研究了一个非常晦涩的问题后，我陷入了湍流。”
他正在使用一种称为均质化的数学程序来分析金属材料的简化模型。在正确的情况下，均质化可以证明在小尺度上看起来复杂且有噪声的系统实际上在较大尺度上表现出简单的行为。它本质上是一组参数，用于显示小尺度噪声如何在长距离上平均化。
十年来，Scott Armstrong 一直在推广一种数学技术，他希望将其应用于一系列广泛的问题。
皮埃尔·基特马赫
但同质化通常只在非常严格的假设下起作用。小规模的噪声必须位于一定的范围内——不能太极端。这限制了同质化的有用性：数学家只将其应用于分析物理系统的最简单表示。
然而，阿姆斯特朗看到了同质化的美感和潜力，这是其他人所没有的。他认为，如果他磨练了这项技术，它就可以用于更接近现实的更嘈杂的环境中。“我一直认为，最终，这个东西应该适用于很多问题，”他说。“如果我能让它真正发挥作用，这将是一个重要的想法。”
但首先，他需要一个测试案例。他想用同质化来证明一些没人认为它能处理的事情——这是数学物理学家关心的问题。
这就是动荡的来源。
理查森假设，在湍流流体中，最大的漩涡携带的能量为稍小的漩涡提供动力，依此类推，直到最小的尺度，其中能量通过流体分子之间的摩擦转化为热量。他用押韵的方式总结了这个想法：“大漩涡有小漩涡，它们以速度为食，小漩涡有较小的漩涡，依此类推。
理查森推测，这个过程应该会导致落入河中的两只鸭子之间的距离根据经典物理学中无处不在的简单方程式增加，称为扩散。只有在这种情况下，从大漩涡到小漩涡的能量级联才会加快这种增长的速度——因此，在湍流流体中，鸭子会表现出后来被称为超扩散的情况。
但与许多动荡现象一样，数学家无法证明这一点。
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视频：物理学家使用 Navier-Stokes 方程来描述流体流动，同时考虑粘度、速度、压力和密度。但是，由于流体中的湍流，证明方程总是有意义的是物理学和数学中最难的问题之一。
导演艾米丽·德里斯科尔（打开新标签页）并由卡伊斯·萨尔汗（打开新标签页）for 广达杂志
因此，在 1980 年代后期，一群物理学家简化了这个场景。他们创建了一个理想化湍流的精简模型。这种流体仍然表现出湍流的特征性涡流和漩涡，但它由更简单的方程控制。然后，该团队提出了理查森提出的相同问题：如果他们将固体粒子（或鸭子）放入这种假想的流体中，它们会以多快的速度散开？
研究人员和理查森一样，推测这些粒子会表现出超扩散，尽管其速率与它们在实际流体中的速率不同。他们使用一种称为重整化的物理学技术来确定这个速率。但众所周知，重整化缺乏严谨性——著名物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）称之为“恶作剧”——尽管它经常给出正确的答案。数学家们只设法在少数情况下使重整化变得严格，他说杰里米·夸斯特尔（打开新标签页）多伦多大学（University of Toronto）的。“问题是，这是一个非常模糊的想法，”他说。
因此，虽然数学家能够证明关于粒子如何在物理学家的理想化流体中扩散的其他陈述，但他们无法证明他们对超扩散的猜想。几十年来，似乎任何研究湍流的人都有一个选择——要么像物理学家团队那样使用模糊的、挥手的论点来做出强有力的猜想，要么坚持严格的数学并证明事物的重要性很小。
阿姆斯特朗认为，除非他可以得到同质化，从而将物理学家的重整化解释建立在更坚实的数学基础上。
为了证明湍流流体中的粒子会以足够快的速度扩散——从流体漩涡的相互作用中获得额外的能量——阿姆斯特朗首先必须更好地了解这种扩散是什么样子的。
这就是他希望引入均质化的地方：证明在更大的尺度上，流体行为的各个方面可以用简单的方程式来描述，而这些方程式反过来又会告诉他粒子的扩散速率。其他数学家也有他们的疑虑。研究人员以前曾尝试使用均质化来解决与湍流相关的问题，但他们从未走得很远。因此，当阿姆斯特朗提到他的目标时，他回忆说，“他们说我无法证明这一点。
但他并没有放弃。他与他的长期合作者合作图莫·库西（打开新标签页）赫尔辛基大学（University of Helsinki）的数学家——“我差点就要嫁给他了。我的意思是，你怎么形容你最好的朋友呢？”阿姆斯特朗说——以及艾哈迈德·布-拉比（打开新标签页），他在 Courant 的博士后研究员。这三位数学家着手加强同质化，使其像原始重整化论证的严格版本。
Tuomo Kuusi 最近帮助证明，落在简化湍流中的粒子表现出一种称为超扩散的特性。
Maarit Kytöharju
他们首先想象一个非常精细的网格叠加在流体上。然后，他们计算了粒子在网格的每个方块中平均停留的时间。在一些方块中，流体就像一条湍急的河流：粒子往往直接扫过方块，只在那里停留很短的时间。在其他方块中，小漩涡可能会推动粒子四处移动，从而减慢它们的速度。
问题在于，数学家计算的数字可能因平方而异——这恰恰揭示了通常阻止数学家使用同质化的小规模无序。
Armstrong、Bou-Rabee 和 Kuusi 需要找到一种方法来解决这个问题。
数学家们希望证明，在比他们的网格捕获的尺度略大的尺度上，流体的行为会少一些噪声和无序。如果他们能做到这一点，他们就能够使用典型的均质化技术来了解在最大尺度上发生的事情。
但其他数学家认为，即使他们成功地分析了那些中间的小尺度，流体看起来也只会更嘈杂。在事情变得更顺畅之前，漩涡首先会以更复杂的方式合并和相互作用。试图证明并非如此是愚蠢的差事。
Ahmed Bou-Rabee 使用概率方法研究偏微分方程，包括控制流体行为的方程。
由 Ahmed Bou-Rabee 提供
团队决定无论如何都要尝试。他们首先绘制了一个稍微粗糙的网格，其中每个正方形都包含来自原始正方形的几个正方形。以前位于原始网格的不同方块中的较小涡流现在可能会被分组在一起，从而改变粒子在新方块中花费的平均时间。或者可能会出现更复杂的行为。
该团队再次计算了粒子在每个方格中停留的时间，以及与相邻方格相关的数字可能相差多少。这需要付出艰苦的努力：他们必须跟踪流体在每个方块中的行为将如何变化，以及它将如何改变粒子的可能运动。然后，他们表明，在这个较粗的网格中，相邻的数字往往相差较小。
他们对较粗和较粗的网格执行此作，直到他们证明在更大（尽管仍然相对较小）的规模体看起来足够漂亮，以至于他们可以使用典型的均质化。“你必须做这个程序，它本身就是全新的，无限次，”Vicol 说。“从数学的角度来看，他们能够做到这一点的事实真的很疯狂。”这需要 300 多页的计算和证明，数学家们花了将近两年的时间。
“这是一次非常紧张的经历，”Bou-Rabee 说。“有很多周六早上，我们早上 6 点起床，然后去办公室工作，然后第二天重复。”
但是，一旦他们能够应用通常的均质化技术，他们就有足够的大尺度流体信息，知道两个固体粒子会根据扩散方程扩散。然后，三人评估了扩散的速率，发现这正是物理学家几十年前的猜想。
他们证明了超级扩散猜想。
结果，数学家们分为（打开新标签页） 两种不同的纸张（打开新标签页）首次对湍流流体的特性进行了严格的数学理解：它们以惊人的效率传播粒子的方式。这是理查森一个世纪前在欧洲气球爱好者分布中观察到的那种现象的第一个证据。“你不会经常得到这种明确的结果，”夸斯特尔说。“我印象深刻——很多人都印象深刻。”
就阿姆斯特朗而言，他认为这项工作证明了他对同质化的雄心壮志。“没有人指望我们会很快走出自己的道路，”他说。“因此，我们来了，然后开始使用这些方法解决其他领域的问题的想法，没有迹象表明。”
赫尔辛基大学（University of Helsinki）的数学家安蒂·库皮艾宁（Antti Kupiainen）对此表示赞同。“我认为更重要的是，他们有一种新的方法，一种新的方法来解决这些问题，”他说。在现实生活中的湍流中——猜想中的简化流体只是在最粗略的意义上建模——尺度以更强、更复杂的方式相互作用，导致更极端的超扩散行为。也许 Armstrong、Bou-Rabee 和 Kuusi 的技术可以帮助研究人员解决相关问题，以获得更真实的湍流模型以及其他问题。
毕竟，重整化在整个物理学中被用来理解在不同尺度上表现出不同行为的系统。阿姆斯特朗希望他的技术也可以用于证明其中一些情况下的陈述——包括粒子物理学，这是重整化最初发展的研究领域。
“我觉得目前有很多开放的可能性，”Kuusi 说。“我认为这是我一生中最后一次发生在我身上，现在我要享受这段旅程。”
来源：人工智能学家