摘要：本文深入探讨量子场论中的诺特定理与守恒定律。首先介绍量子场论中描述系统动力学的拉格朗日密度，通过最小作用量原理推导出欧拉 - 拉格朗日方程。在此基础上，详细阐述无穷小对称性变换下的坐标变换和场量变换，进而推导诺特定理，揭示其与守恒定律的紧密联系。通过对守恒荷、

量子场论中的诺特定理与守恒定律

纪红军作

摘要：本文深入探讨量子场论中的诺特定理与守恒定律。首先介绍量子场论中描述系统动力学的拉格朗日密度，通过最小作用量原理推导出欧拉 - 拉格朗日方程。在此基础上，详细阐述无穷小对称性变换下的坐标变换和场量变换，进而推导诺特定理，揭示其与守恒定律的紧密联系。通过对守恒荷、能量 - 动量守恒等具体方面的分析，展示诺特定理在量子场论中的重要应用，为理解量子场的动力学行为和物理本质提供理论基础。

关键词：量子场论；诺特定理；守恒定律；拉格朗日密度；对称性变换

一、引言

量子场论是描述微观世界物理现象的重要理论框架，它将量子力学与狭义相对论相结合，成功地解释了许多基本粒子的相互作用和性质。在量子场论中，诺特定理和守恒定律占据着核心地位。诺特定理建立了对称性与守恒定律之间的深刻联系，为我们理解量子场的动力学行为提供了强有力的工具。通过研究诺特定理与守恒定律，我们能够从对称性的角度深入剖析量子场的本质，揭示微观世界中物理规律的内在统一性。本文将详细阐述量子场论中诺特定理与守恒定律的相关理论及其推导过程，并探讨其在实际物理问题中的重要应用。

二、量子场论的基础：拉格朗日密度与欧拉 - 拉格朗日方程

2.1 拉格朗日密度的定义

在量子场论中，我们用拉格朗日密度\mathcal{L}(\phi_{i},\partial_{\mu}\phi_{i},x^{\mu})来描述系统的动力学。其中，\phi_{i}(x)是场量，它可以是标量场、矢量场等不同类型的场 。例如，在标量场理论中，\phi(x)描述了空间 - 时间点x处标量场的取值；在电磁理论中，矢量势A_{\mu}(x)就是一种矢量场量。\partial_{\mu}=\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}是四维导数，这里的x^{\mu}=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})，x^{0}=ct为时间分量，x^{1},x^{2},x^{3}为空间分量。拉格朗日密度包含了场量及其导数的信息，它从根本上决定了量子场系统的动力学行为。

2.2 作用量的定义与最小作用量原理

作用量S定义为拉格朗日密度在四维时空区域\Omega上的积分，即：

S = \int_{\Omega}d^{4}x\mathcal{L}(\phi_{i},\partial_{\mu}\phi_{i},x^{\mu})

最小作用量原理指出，系统的真实运动使得作用量取极值，即\delta S = 0。这一原理类似于经典力学中质点运动满足的最小作用量原理，它是量子场论中确定场方程的基本依据。在经典力学中，通过最小作用量原理可以推导出牛顿运动方程；而在量子场论中，我们将通过这一原理推导出描述场运动的欧拉 - 拉格朗日方程。

2.3 欧拉 - 拉格朗日方程的推导

通过变分法对作用量进行变分：

\begin{align*}

\delta S&=\delta\int_{\Omega}d^{4}x\mathcal{L}(\phi_{i},\partial_{\mu}\phi_{i},x^{\mu})=\int_{\Omega}\delta d^{4}x\mathcal{L}(\phi_{i},\partial_{\mu}\phi_{i},x^{\mu})\\

&=\int_{\Omega}d^{4}x\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_{i}}\delta\phi_{i}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_{i})}\delta(\partial_{\mu}\phi_{i})\right)\\

&=\int_{\Omega}d^{4}x\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_{i}}\delta\phi_{i}-\partial_{\mu}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_{i})}\right)\delta\phi_{i}+\partial_{\mu}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_{i})}\delta\phi_{i}\right)\right)

\end{align*}

假设场量及其导数在积分区域边界为零，这样可以消除边界项，得到：

\int_{\Omega}d^{4}x\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_{i})}\delta(\partial_{\mu}\phi_{i})=-\int_{\Omega}d^{4}x\partial_{\mu}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_{i})}\right)\delta\phi_{i}

从而：

\begin{align*}

\delta S&=\int_{\Omega}\delta d^{4}x\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_{i}}\delta\phi_{i}-\partial_{\mu}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_{i})}\right)\delta\phi_{i}\right)\\

&=\int_{\Omega}\delta d^{4}x\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_{i}}-\partial_{\mu}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_{i})}\right)\right]\delta\phi_{i}

\end{align*}

由于\delta\phi_{i}是任意的，要使\delta S = 0，就可以得到欧拉 - 拉格朗日方程：

\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_{i}}-\partial_{\mu}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_{i})}\right)=0

欧拉 - 拉格朗日方程是量子场论中场运动的基本方程，它类似于经典力学中的牛顿第二定律，确定了场量随时间和空间的变化规律。例如，对于自由标量场，其拉格朗日密度为\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial^{\mu}\phi\partial_{\mu}\phi-\frac{1}{2}m^{2}\phi^{2}，代入欧拉 - 拉格朗日方程可以得到克莱因 - 戈登方程，描述了标量场的传播和相互作用。

三、诺特定理的推导：基于无穷小对称性变换

3.1 无穷小对称性变换的构成

考虑一个无穷小的对称性变换，它包含坐标变换和场量变换两部分。

坐标变换：x^{\mu}\to x^{\prime\mu}=x^{\mu}+\delta x^{\mu}，其中\delta x^{\mu}是无穷小量。在这个变换下，体积元d^{4}x会发生变化。根据多元函数积分的变量替换规则，有d^{4}x^{\prime}=\left|\frac{\partial x^{\prime}}{\partial x}\right|d^{4}x。对于无穷小变换x^{\prime\mu}=x^{\mu}+\delta x^{\mu}，雅可比行列式\left|\frac{\partial x^{\prime}}{\partial x}\right|可以展开为：

\begin{align*}

\left|\frac{\partial x^{\prime}}{\partial x}\right|&=\left|\delta_{\nu}^{\mu}+\frac{\partial(\delta x^{\mu})}{\partial x^{\nu}}\right|=1 + Tr\left(\frac{\partial(\delta x^{\mu})}{\partial x^{\nu}}\right)+O((\delta x)^{2})\\

&=1+\partial_{\mu}\delta x^{\mu}+O((\delta x)^{2})

\end{align*}

这里用到了行列式的近似公式|I + A|\approx1 + Tr(A)，其中I是单位矩阵，A是无穷小矩阵。在一阶近似下，并忽略二阶小量O((\delta x)^{2})，可得d^{4}x^{\prime}=(1+\partial_{\mu}\delta x^{\mu})d^{4}x。

场量变换：\phi_{i}(x)\to\phi_{i}^{\prime}(x)=\phi_{i}(x)+\delta\phi_{i}(x)，其中\delta\phi_{i}(x)是场量的无穷小变化，可分为两部分：\delta\phi_{i}=\Delta\phi_{i}+(\partial_{\nu}\phi_{i})x^{\nu}。其中\Delta\phi_{i}是场量的显式变化，(\partial_{\nu}\phi_{i})x^{\nu}是由于坐标变换引起的隐式变化。我们可以将\delta\phi_{i}(x)称为场的总变分。

3.2 拉格朗日密度的变换与推导

在变换后的坐标和场量下，拉格朗日密度为\mathcal{L}(\phi_{i}^{\prime},\partial_{\mu}^{\prime}\phi_{i}^{\prime},x^{\prime\mu})。将其在原场量和坐标附近进行泰勒展开：

\begin{align*}

\mathcal{L}(\phi_{i}^{\prime},\partial_{\mu}^{\prime}\phi_{i}^{\prime},x^{\prime\mu})&=\mathcal{L}(\phi_{i},\partial_{\mu}\phi_{i},x^{\mu})+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_{i}}\delta\phi_{i}\\

&+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_{i})}\delta(\partial_{\mu}\phi_{i})+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^{\mu}}\delta x^{\mu}+O((\delta x^{\mu})^{2})

\end{align*}

为了求出\delta(\partial_{\mu}\phi_{i})，需要利用链式法则：

\begin{align*}

\partial_{\mu}^{\prime}\phi_{i}^{\prime}(x^{\prime})&=\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime\mu}}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}(\phi_{i}(x)+\delta\phi_{i}(x))\\

&=\left(\delta_{\nu}^{\mu}-\frac{\partial(\delta x^{\nu})}{\partial x^{\prime\mu}}\right)\left(\partial_{\nu}\phi_{i}(x)+\frac{\partial(\delta\phi_{i}(x))}{\partial x^{\nu}}\right)\\

&=\cdots\\

&=\partial_{\mu}\phi_{i}+\partial_{\mu}(\delta\phi_{i})-(\partial_{\mu}\phi_{i})\partial_{\nu}\delta x^{\nu}-O((\delta x^{\mu})^{2})

\end{align*}

所以\partial_{\mu}\phi_{i}(x)=\partial_{\mu}(\delta\phi_{i})-(\partial_{\mu}\phi_{i})\partial_{\nu}\delta x^{\nu}。

将d^{4}x^{\prime}、\mathcal{L}(\phi_{i}^{\prime},\partial_{\mu}^{\prime}\phi_{i}^{\prime},x^{\prime\mu})以及\partial_{\mu}\phi_{i}(x)的变换式代入作用量变分公式：

\begin{align*}

\delta S&=\int_{\Omega}d^{4}x^{\prime}\mathcal{L}(\phi_{i}^{\prime},\partial_{\mu}^{\prime}\phi_{i}^{\prime},x^{\prime\mu})-\int_{\Omega}d^{4}x\mathcal{L}(\phi_{i},\partial_{\mu}\phi_{i},x^{\mu})\\

&=\cdots\\

&=\int_{\Omega}d^{4}x\left[\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_{i}}\delta\phi_{i}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^{\mu}}\delta x^{\mu}+\mathcal{L}\partial_{\mu}\delta x^{\mu}\right)\right]\\

&+\int_{\Omega}d^{4}x\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_{i})}(\partial_{\mu}(\delta\phi_{i})-(\partial_{\mu}\phi_{i})\partial_{\nu}\delta x^{\nu})\right]+O((\delta x^{\mu})^{2})

\end{align*}

在多数情况下，拉格朗日密度不显含坐标x^{\mu}，即\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x^{\mu}} = 0。进一步化简可得：

\begin{align*}

\delta S&=\int_{\Omega}d^{4}x\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_{i}}\delta\phi_{i}+\mathcal{L}\partial_{\mu}\delta x^{\mu}\right]\\

&+\int_{\Omega}d^{4}x\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_{i})}(\partial_{\mu}(\delta\phi_{i})-(\partial_{\mu}\phi_{i})\partial_{\nu}\delta x^{\nu})\right]

\end{align*}

假设场量及其导数在积分区域边界为零，由于系统满足欧拉 - 拉格朗日方程\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi_{i}}-\partial_{\mu}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_{i})}\right)=0，作用量\delta S = 0，对于任意边界的积分区域\Omega，就可以得到连续性方程：\partial_{\mu}j^{\mu}=0，其中守恒流j^{\mu}可以定义为：

j^{\mu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_{i})}\delta\phi_{i}+\mathcal{L}\delta x^{\mu}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi_{i})}\partial_{\nu}\phi_{i}\delta x^{\nu}

这就是诺特定理的核心内容，它表明如果系统存在某种对称性（由无穷小变换描述），那么就存在与之对应的守恒流，进而对应着一个守恒定律。

四、诺特定理与守恒定律的具体应用

4.1 守恒荷的定义与物理意义

守恒流j^{\mu}满足连续性方程\partial_{\mu}j^{\mu}=0，其展开形式为\frac{\partial j^{0}}{\partial x^{0}}+\frac{\partial j^{i}}{\partial x^{i}} = 0，其中i = 1,2,3表示空间指标，x^{0}=ct是时间坐标。定义守恒荷Q为守恒流的时间分量j^{0}在整个三维空间上的积分，即：

Q=\int d^{3}xj^{0}

从物理意义上来说，不同的守恒流对应的守恒荷代表着不同的物理量的守恒。例如，在电磁理论中，与规范对称性对应的守恒荷是电荷，电荷守恒定律就是诺特定理在电磁规范对称性下的体现；在量子场论的洛伦兹对称性下，对应着能量 - 动量守恒等守恒定律。守恒荷的存在反映了系统在某种对称性下的不变性，是量子场论中物理量守恒的深刻根源。

4.2 能量 - 动量守恒

考虑量子场论中的洛伦兹对称性，即系统在洛伦兹变换下保持不变。洛伦兹变换包括空间旋转和平动、时间平移等变换。通过诺特定理，可以得到与洛伦兹对称性对应的守恒流，进而得到能量 - 动量张量T^{\mu\nu}。能量 - 动量张量满足\partial_{\mu}T^{\mu\nu}=0，从这个守恒方程可以推导出能量守恒和动量守恒定律。具体来说，能量 - 动量张量的时间分量T^{00}对应能量密度，空间分量T^{0i}对应动量密度，T^{ij}对应应力张量。能量 - 动量守恒定律在描述微观粒子的相互作用、散射过程以及宏观物体的运动等方面都起着至关重要的作用，它是自然界最基本的守恒定律之一，而诺特定理为我们从对称性角度理解这一守恒定律提供了理论依据。

4.3 其他守恒定律

除了能量 - 动量守恒和电荷守恒外，诺特定理还可以应用于其他对称性，得到更多的守恒定律。例如，在量子场论中存在的内部对称性，如同位旋对称性，与同位旋对称性对应的守恒流给出了同位旋守恒定律，它在强相互作用的研究中具有重要意义。另外，在一些超对称理论中，超对称变换下的诺特定理可以给出新的守恒量和守恒定律，这些守恒定律为探索新的物理现象和理论模型提供了重要线索。

五、结论

诺特定理在量子场论中建立了对称性与守恒定律之间的深刻联系，是理解量子场动力学行为的关键理论。通过拉格朗日密度和最小作用量原理，我们推导出欧拉 - 拉格朗日方程，进而基于无穷小对称性变换详细推导了诺特定理，得到了守恒流和连续性方程。诺特定理的应用广泛，从守恒荷的定义到能量 - 动量守恒以及其他各种守恒定律的推导，都展示了其在揭示微观世界物理规律方面的强大威力。它不仅为我们解释已知的物理现象提供了理论框架，也为探索未知的物理领域，如寻找新的对称性和守恒定律、研究超出标准模型的物理等，提供了重要的研究方向和工具。随着量子场论的不断发展，诺特定理将继续在凝聚态物理、粒子物理、宇宙学等多个领域发挥核心作用，推动我们对微观世界和宇宙本质的深入理解。

来源：简单花猫IN