摘要：诺贝尔奖在科技界的地位无可非议，遗憾的是它没有数学奖。不过，也有几位数学家得到了诺贝尔奖。本篇的主角，英国数学家罗杰·彭罗斯（Sir Roger Penrose，1931-），就与两个诺奖有关。

来源：知识分子

作者：张天蓉

诺贝尔奖在科技界的地位无可非议，遗憾的是它没有数学奖。不过，也有几位数学家得到了诺贝尔奖。本篇的主角，英国数学家罗杰·彭罗斯（Sir Roger Penrose，1931-），就与两个诺奖有关。

之前介绍过的“王浩瓷砖”，属于“非周期性密铺”图案，由11个王氏砖组合成一组，可以实现一种非周期性密铺。所谓“非周期性”，意味着将密铺的一部分，不旋转地移动有限距离，不会产生完全相同的密铺图案，也就是说，图案不具有平移对称性。通俗地说，就是可以用这一组瓷砖，一直铺下去但图案永不重复。这一组瓷砖叫做“原始瓷砖”。

由王氏砖研究的启发，有人便思考如何用更少数目不同原始瓷砖的组合，来实现非周期性密铺。结果得到一个较小的数目：2，例如彭罗斯密铺。

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没有周期的密铺是非周期的。如果一组原始瓷砖构成的所有密铺都是非周期的，则称为非周期密铺。非周期密铺比周期性密铺更具趣味性，在数学研究中也更有意义，比如王浩瓷砖，能与图灵机联系起来。彭罗斯密铺也很有意思，它是已知最简单的由有限原始瓷砖构成的平面非周期密铺的重要例子之一。

图1：两种等效的彭罗斯密铺（原始瓷砖数不同）

第一个彭罗斯密铺，由六个原始瓷砖组成，由彭罗斯在1974 年的一篇论文中引入[1]，它基于正五边形而不是正方形。我们知道，任何用正五边形拼贴平面的尝试都必然留下空隙，但这些空隙可以用五角星以及其他形状填补。彭罗斯找到了这些形状的匹配规则，得到了一个六种原始瓷砖的非周期集，见图1a。在图1a中，六种原始瓷砖用六种不同的颜色表示，其中有三种颜色的正五边形，它们被看作是不同的原始瓷砖，是因为它们遵循的匹配规则不同[2]。

随后，彭罗斯将原始瓷砖的数量减少到两个，发现了菱形密铺和风筝飞镖密铺两种类型，见图1b。这个发现由马丁·加德纳在 1977 年 1 月的《科学美国人》 “数学游戏”专栏中发表。

从图1中可见，彭罗斯这种密铺方法拼出来的图案，没有周期性，但却具有五次对称性。

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彭罗斯的密铺是他众多数学小作品中的一个。不过，这个“小”数学游戏，却使另一位以色列科学家舍特曼受益匪浅，独自获得了2011年诺贝尔化学奖，以表彰他“对准晶体的发现”。

1982-1984年，材料科学家丹·谢赫特曼（Dan Shechtman，1941-，丹尼尔·舍特曼）（图2），在电镜下观察快速冷却的铝锰合金时，发现了一种新的金属相，其电子衍射斑具有明显的五次对称性，这是一种新形态的二十面体相（Icosahedral Phase）分子结构，见图2右。

图2：谢赫特曼和银铝合金准晶的原子模型

然而一开始，谢赫特曼的新发现没有被主流化学界认同，别人都不相信他的说法，原始文章也难以发表，使谢赫特曼感到分外沮丧。

权威们为什么会反对呢？因为根据晶体结构理论，晶体就是空间中有周期重复的对称性排列。周期重复对应于数学中的平移，因此，晶体中的原子格点，需满足平移对称性。如此一来，原子格点只可能具有2、3、4、6重的旋转对称性，不可能具有谢赫特曼所观察到的5重旋转对称性。换句话说：5重旋转对称不能与平移性共存，而平移对称是晶体的基本特征。

谢赫特曼相信自己多次实验所见到的事实，为了解释这点，他提出一种解释，认为晶体可能有时会出现“非周期性” 的图案。这种解释遭到科学界的敌视和嘲讽。莱纳斯·鲍林甚至说他在“胡说”，“没有伪晶体，只有伪科学家。”，上司告诉他，“回去读教科书”，“让他停止为团队‘带来耻辱’。”

最后，彭罗斯早就发现了的数学拼图方法帮助了谢赫特曼，让晶体研究者们认识到5重旋转对称的非周期结构的确是真实存在的，加上后来接连不断的其他类似实验结果的发现。人们才认识到这是一种新物态，类似晶体又不完全是晶体，故称之为“准晶体“。

比较图1和图2，可以看出，彭罗斯密铺与谢赫特曼发现的银铝合金准晶体原子模型的相似性。

两年后，谢赫特曼的文章得以发表。2011年，他独享该年的诺贝尔化学奖[3]。

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9年之后，彭罗斯自己也得了诺奖，不是因为容易理解的拼图小游戏了，而是与“黑洞”有关。他因为“发现黑洞的形成是对广义相对论的有力预测”，而荣获了2020年度的诺贝尔物理学奖。

罗杰·彭罗斯出生于英国埃塞克斯郡，一个显赫的学术家族。祖父母是爱尔兰裔艺术家；父母都是精神病学家和遗传学家；兄弟姐妹皆为学术精英。彭罗斯的父亲在智力障碍遗传学方面进行了开创性的工作，同时也是著名的数学家和国际象棋理论家，这点对彭罗斯的成长影响巨大。

二战期间，彭罗斯在加拿大度过了童年，随后，他进入伦敦大学学院，并于1952 年完成本科，1957 年在剑桥大学获得代数几何博士学位。

彭罗斯本科时便开始了他的学术生涯，作出不凡的成绩，90岁之后仍然参与学术活动。

彭罗斯得到诺贝尔物理学奖的工作，是他作为“数学物理学家”的成果。1964 年，彭罗斯研究广义相对论的弯曲几何，使用与约翰·惠勒发展的微扰论不同的更具创新性的方法，即忽略时空的详细几何结构，而只关注空间的拓扑结构。彭罗斯在1965年发表的划时代重要论文《引力坍缩与时空奇点》[4]中提出，如果一个物体（例如后期恒星）在某个点之后内爆，那么没有什么可以阻止引力场变得如此强大以形成某种奇点，是他对黑洞引力塌缩理论之最早陈述。

彭罗斯比公众熟知的霍金年长10岁左右，他曾担任霍金博士答辩的评委。彭罗斯在广义相对论工作中的第一条奇性定理，对霍金的研究有所启发，之后，他们俩又一起证明了广义相对论中的“彭罗斯-霍金奇点定理”。彭罗斯在引力坍缩的局部背景下做出了最具决定性的贡献，除了1965的论文之外，他1969 年提出宇宙审查猜想，之后与霍金完成的共同工作，为黑洞之引力塌缩理论奠定了基础，无愧于2020年的诺贝尔物理奖。

在宇宙学方面，彭罗斯提出了一个颇具新意的，基于共形映射的循环宇宙的思想，即彭罗斯共形循环宇宙（CCC）的数学模型（图3），详情见笔者的另一篇文章[5]。

图3：彭罗斯将共形映射应用于循环宇宙模型

彭罗斯也是一位科学哲学家及思想家，他兴趣广泛，知识渊博，出版过一系列与科学哲学相关的著作，也与霍金及其他同行一起合著过好几本有关宇宙、大爆炸等的普及读物。他写过很多关于基础物理学和人类（或动物）意识之间联系的书籍，其中有一本广为人知的科普书，中文版叫《皇帝新脑》，讨论量子物理与人类意识的关系等等。彭罗斯是“少数相信意识的本质意味着量子过程的科学家之一”。

虽然彭罗斯得的是诺贝尔物理奖，但他在物理界的确属于“少数派”，他有许多古怪的、与众不同的想法，这位如今已94岁的学者，经常用他抽象的数学眼光来“挑剔”物理，看到许多物理主流理论的缺陷和问题。他用数学的直觉，表达他对物理概念的忧虑：他质疑弦论的额外维度，不相信标准时空，怀疑量子引力等等。当然，这些也仍然是物理中悬而未决的几个问题，但彭罗斯提出的新方法却是让许多人觉得更匪夷所思。据说在某一次会议上，物理学家萨斯金对彭罗斯说过一句极具代表性的“真”话：“当然，你可能完全正确的，却迷失了方向！”意思是，您就算对了，也和我们走的不是一条路啊！

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也许在学术界，彭罗斯更是一位成功的数学家。他原来的专长是代数几何学，在几何方面，有许多完全可以被普通老百姓所理解，又十分有趣的成果及哲学思考。比如彭罗斯地砖，就可以在日常生活中直接应用。

彭罗斯对几何有一种与众不同的直觉。他从小对“不可能”的东西感兴趣，并且善于从“不可能”中，发现其隐藏于深层的秘密。彭罗斯密铺瓷砖也是一例：局部看起来图案是对称的，也具有整体对称性，如果一直铺下去呢？好像“不可能”不重复，应该是周期的吧？但结论却不是！

在剑桥读书时的数学会上，彭罗斯看见了埃舍尔的画，十分感兴趣，启发他与父亲合作设计并推广了“彭罗斯三角形”，后来演化成“不可能楼梯”（图4）。之后，父子俩与埃舍尔有了很多互动，彼此交换素材，互相启发思维。彭罗斯从数学的角度研究不可能图形的上同调，埃舍尔以画家的观察，产生了《瀑布》、《升与降》等脍炙人口的作品。

图4：彭罗斯用直观的几何表达哲学思想

这些“不可能”的几何思考，必然对彭罗斯的学术研究有所影响。1967年，彭罗斯发明了扭子理论，将闵可夫斯基空间中的几何对象映射到四维复空间中，他认为全纯的扭量应该是时空的最基本结构。虽然他的扭量理论在数学圈有一定影响，但物理响应不多。

彭罗斯在1971 年发明自旋网络，后来形成了圈量子引力中的时空几何，再看看他的的彭罗斯共形图（图4左图），他将无限的时空，用一个有限的图形表示出来，将无限映射到有限，这实际上就是一种“不可能”几何的具体实现。还有彭罗斯“共形循环宇宙学”，其渊源是有趣的外尔曲率。从这些有关时空结构的研究中，都能看到彭罗斯几何表象下的哲学思考。

彭罗斯的成果如此之多，我们可以来一趟“彭罗斯世界之旅”：踏上彭罗斯密铺地，走下彭罗斯阶梯，手举彭罗斯三角形，眼观彭罗斯共形图，思考彭罗斯无限循环的共形宇宙，考察其中的奇点效应……

【1】Penrose, Roger (1974). "The role of aesthetics in pure and applied mathematical research". Bulletin of the Institute of Mathematics and Its Applications. 10: 266ff..

【2】Original pentagonal Penrose tiling (P1)：https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling#CITEREFPenrose1974

【3】维基百科：丹·谢赫特曼，https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%B9%C2%B7%E8%B0%A2%E8%B5%AB%E7%89%B9%E6%9B%BC

【4】Roger Penrose，Gravitational Collapse and Space-Time Singularities

来源：刘亚东