摘要：位置关系是相对位置：垂直、平行、相交、平移、旋转、坐标等。数量关系是具体数值：线段长度、角度大小、面积、最大最小值、正弦余弦值等等。
这篇我们说几何学习
回应标题：这8个字是：“位置关系、数量关系”。
抓住这八个字，破解几何“玄学”，做题不说开挂，最起码很通透。
位置关系是相对位置：垂直、平行、相交、平移、旋转、坐标等。数量关系是具体数值：线段长度、角度大小、面积、最大最小值、正弦余弦值等等。所有的几何题都在考察位置关系或数量关系；所有的几何定理、推论、条件都指向位置关系或数量关系。搞懂了这点，你就抓住了学几何的底层逻辑。
01
考察
所有的几何题都在考察“位置关系和数量关系”。
做题时，你先祭出这八个字，然后再去看题目，整体都清明了。
下面，我们来看2道有代表性的中考压轴题，通过题目让你理解得更透彻。
上面这道题属于几何压轴题。
第一问，求证BE＝EF——数量关系。
既然是数量关系，我们就要调出跟数量关系有关的知识点。
全等三角形、三角函数、等角对等边、等边三角形、角平分线上的点、正方形、菱形、线段中点……
看一下图中的BE和EF，它们：
在一个三角形中——△BEF，我们可以证明等角对等边。分别在两个三角形中——△DEF和△ABE，我们可以证明全等。哪个可行一些？
直觉上全等更靠谱，因为菱形代表了很多相等关系，包括角度和边。
于是，我们就顺着这个思路想。
观察，△ABE≌△EFD似乎不可能，单看图片就不全等。
那我们再试试等角对等边。
再观察图片，△BEC跟△DEC看起来全等，这样∠EDC=∠EBC.
那我们证明∠EDC等于∠EFC就可以了。
怎么证明呢？再看看证明角度相等的数量关系知识：
平行线、对顶角、余角、补角、三角形外角、相似、全等……
好，找到了，三角形外角。
且看下面的证明步骤
注意：我们找了两次才找对思路，不过一开始【方向】我们是有的。
有方向后就试，一次不行两次，在纸上演算。
不要慌，高手也是这么做题的，没有谁一开始就能做对，那些做的比较快的，是依靠反应速度和知识的熟练度。
这些都是可以练的，只要你够努力。
好，接着再看第二问，写出函数表达式。
其实这还是数量关系——y代表面积，x表面是时间，但它代表了CE的长度。
好，既然是数量关系，调出面积这个数量关系知识点：
S△BEF=y=½BF×h。BF=BC+CF,BC已知，CF？CF，我们要观察一下图形，直观上，△ABE≌△CFD,那么CF等于AE——求CF还是数量关系，数量关系的知识点在这里用全等。
那么，既然CF=AE,我们就可以把CF用x表达出来。
h是高，高从E点往BF作垂线——高的值，也是数量关系。
一个线段的值，怎么表示？调出几何结论中求线段的相关知识点：
勾股定理、正弦余弦、等积变换、轴对称、坐标、弦长公式……
我们选一选：作EG⊥BF后，在△EGC中，∠ECG=60°，很显然用正弦比较方便。
那我们就可以整理思路来作证明，并把表达式写出来了。
好，再来，看第三问。
DF最短。
前面说了DF=DE，DF最短就是DE最短。
DE什么时候最短？——最短最长看似是数量关系，其实是位置关系。
也就是说，动点在什么位置，跟已知线段形成什么关系，才能最短。
我们调出相关知识：
两点之间线段最短、圆的切线、平行线之间的距离、垂线段最短……
选一选，【垂线段最短】，也就是DE⊥AC时最短。
好，思路来了，我们就整理一下，写写过程。
你看，是不是数量关系和位置关系的考察？
同时，你从数量关系和位置关系出发，也能很快理清思路——注意，前提是你对知识点很熟悉。
好，下面我们再看一道压轴题。
第一问，我们先不看题目要求什么。
看一下题干，你就会发现好多位置关系。
相交、旋转、顶点、坐标轴——这些展现的都是位置关系。
y1的对称轴是x=-1.它又跟x轴相交于A、B两点，AB=4.
看位置，A、B分别在对称轴两边，那么A、B的坐标我们就可以写出来了。
注意，坐标就是位置，小学四年级刚引入坐标的时候，就是用位置引入的。
四年级数学：为什么数对先写列，再写行？
知道了这点，我们就可以把点带入，写表达式了。
y2的表达式，我们还是利用位置关系。
旋转之后，它与x轴两个交点的坐标我们依然可以表达出来。D点的坐标我们也能根据中心对称这个位置关系表达出来。然后把这些点带入，就能算出表达式。
不能说这一题纯粹在考察位置关系，但可以说：
第一问是结合二次函数知识来考察你对坐标系里位置关系的理解。
我们再看第二问。
求FM+MN+DN的最小值，我们上面说过，最小值是位置关系的问题——在什么位置，长度最小。
我们调出与【线段相加值最小】相关的位置关系知识点：
三角形（三边关系）、费马点、对称、三点共线……
分析：
利用对称让这几点共线，可行——通常最小值问题，都这么解决。
好，我们看MN=2，是定值，只要FM+DN最小就行。
要想让FND共线，最起码让它们接在一起——位置关系。要接在一起，怎么办？平移——位置关系。平移之后要做D的对称点，让它们来到异侧或同侧，从而在一条线上——位置关系。知道了这些，我们就可以开始写答案了。
（这种方法我在下面这篇文章中写的比较详细，大家可以去看看。）
对称是思维，将军饮马是技巧：要抓思维，而不是沉迷于技巧
你看，利用位置关系，结合数量关系的算法（两点之间直线的距离公式），得到了我们要的答案。
即便在二次函数大题中，依然在考察数量关系和位置关系。
我们的举例就到这里。
下面我们来到第二部分，学习。
02
学习
刚才可以说我们讲的是输出端——试卷题目在考察数量关系和位置关系。
现在我们说学习——输入端，也逃不开这8个字。
想想，从小学开始接触几何，我们都在学位置和数量。
数量：三角形的角度、等腰三角形、四边形的四边；位置：四边形对边关系、平移、旋转、对称。初中我们学：
数量：全等、相似、角度、四边形的边、角平分线、等腰……位置：中心对称、旋转、平移、坐标轴、中位线、垂直、垂直平分线、相交……可以说几何就是位置关系+数量关系。
你在学习的时候分分类。
比如学到全等：
你知道全等能证明角相等，边相等，这是数量关系。等到考试的时候，你看到求证相等，就把这部分知识调出来。然后，你就有方向了。有方向后多试试，答案就出来了——有时候根本不需要你试很多，需要试很多的都是稍难一些的题目。稍难一些的题目有方向后，最多也就试三次，不要怕。等于说，我要求：
你在输入端按照【数量关系+位置关系】整理知识点；在输出端看题目是在考察哪种关系，你调出相应知识点。第一部分我在演示，第二部分做一下说明和要求。
到这儿，你明白了吧？
这就是我标题说的：送你8字真言，专治几何“头痛症”。
不仅初中适用，高中也适用。
到这儿闭环了。
好，这篇我就说到这里。
关于初中知识点，哪些是数量关系，那些是位置关系，我就不总结了。
你去总结。
或者你也可以利用AI，不用高级的deepseek，就豆包和kimi就行。
你给指令：初中几何，证明线段相等，可以利用哪些知识点，请列举。
下面一大堆就出来了，你打印出来，背一背，理解一下。
然后再做几道题试试。
请注意：
很多时候你知道要用全等，但你并不会很容易证明全等，这就需要你去观察，去想。
根据你需要的，找条件——这时候就像拿着放大镜破案的侦探了。
别急，这种方法，我也写过文章。
好，本文结束，谢谢阅读。
来源：宝妈丽丽在修行一点号
