摘要：“要了解普朗克黑体辐射定律，可能需要先了解瑞利-金斯公式。只有了解瑞利-金斯公式的推导过程，才会明白普朗克是如何解决紫外灾难的。”
原创熊诵烟知新物理工作室2024年12月09日
“ 要了解普朗克黑体辐射定律，可能需要先了解瑞利-金斯公式。只有了解瑞利-金斯公式的推导过程，才会明白普朗克是如何解决紫外灾难的。”
一、什么是瑞利-金斯公式
瑞利-金斯公式是英国物理学家瑞利于1900年提出的，由英国物理学家金斯于1905年完善的一个描述黑体辐射能量分布与频率、温度之间关系的公式，公式如下：
其中：u是辐射能量密度，ν 是频率，k 是玻尔兹曼常数，T 是绝对温度，c 是光速。
【概念解释：
什么是黑体？
所谓黑体，是指它发出的辐射全部来自身内部的能量，比如太阳和灯泡，它们在黑暗之中忽然发出的光来自它们自身的辐射，所以它们就相当一个黑体。】
【概念解释：
辐射能量密度是如何测量的呢？
早期的方法是通过将高温物体（如黑体）附近的水槽升温来间接测量辐射能量密度。后来，根据比尔-朗伯定律制作出的分光光度计可间接测出辐射能量密度。】
二、瑞利-金斯公式与紫外空难 瑞利-金斯公式说明，辐射能量密度与频率的平方成正比，与温度成正比。可实验现象证实，此公式在低频区域（长波区域）与实验数据吻合较好，在高频区域（短波区域）与实验数据却严重不符，频率越高，辐射能量密度却不会持续增加，此现象称为“紫外灾难”。公式为什么在低频区域吻合，在高频区域失效？我们通过回顾此公式的推导过程来了解紫外灾难。
三、辐射能量密度本质上由黑体内的模式数决定
首先，考虑一个充满电磁波的空腔（此空腔也称为黑体），此空腔的形状假定为立方体。
【概念解释：
为什么黑体形状选择为立方体形，而不是球形？
之所以假定空腔是立方体而不是球体，这是因为球体空腔的腔壁上任何两点的距离的计算过程非常复杂，计算难度大，不像立方体空腔的腔壁上任何两点的计算来得方便。】
立方体的三维空腔内存在不同频率的电磁波，这些不同频率的电磁波的数量称为模式数。
只要求出黑体的模式数，就可以求出黑体的辐射能量密度u。
四、什么是驻波 空腔内电磁波的模式数其实是指空腔内驻波的数量。因为当热平衡时，空腔内电磁波基本上都是驻波。
【概念解释：
为什么热平衡时，黑体内的电磁波基本上都是驻波？
由于空腔的壁面上的电场或磁场必须为零（否则电磁波会穿透黑体），这个条件就叫做黑体的边界条件。
所谓驻波，是指波形似乎固定不动，没有向前传播。出现这种现象是由于两列相同频率、相同振幅但相位相反的波在同一直线上相互干涉形成的波。在这种情况下，波的某些位置总是保持静止（称为节点），而另一些位置则达到最大振幅（称为腹点或波腹）。
根据驻波的定义，如果腔体内的电磁波的节点落在腔体内壁上，则意味着此电磁波的入射波与黑体内壁发射波刚好形成驻波。
由于驻波的电场和磁场为零处的位置正好在壁面上，完美符合黑体的边界条件。
当电磁波的节点落在腔体的内壁上，说明电磁波的波长的一半的整数倍等于空腔长度。
因此，空腔尺寸L等于半个波长 （λ/2） 的整数倍时，电磁波就会在空腔内形成驻波，即：
其中 n 是一个正整数，L是空腔的长度，λ是驻波的波长。】
非热平衡前，非驻波模式的波在与内壁之间不断进行吸收和发射的过程后会逐渐衰减，因为它们不能满足边界条件。当热平衡时，腔体内基本上只剩下符合边界条件的驻波了。所以，黑体内的电磁波基本都是驻波。
五、什么是能量均分定理还要假设黑体辐射腔内的电磁波模式是均匀分布的，并且每个模式的能量遵循能量均分定理，即每个模式的能量为kT/2。【概念解释：什么是能量均分定理？所谓能量均分定理，是指在温度为 T 的热平衡状态下，每个自由度的平均能量为1/2kT，其中k是玻尔兹曼常数。什么是自由度？自由度是指系统中能够独立变化的坐标或变量。对于一个刚性双原子分子，每个分子有3个平动自由度和2个转动自由度。一个分子中的原子之间的相对振动可以视为振动自由。】
六、什么是波矢量和波数
如何统计热平衡时，黑体中特定频率特定方向的驻波的数量呢？
如果假定每个特定频率的驻波在空腔中分布是均匀的，则意味着某特定方向特定频率的驻波是唯一的。
为了描述特定方向特定频率的驻波，则需要一个既可反映波长（或频率）、又可反映方向的物理量。这个物理量在物理学上称为波矢量。
【概念解释:
波矢量的大小叫波数，符号为k。每种频率（或波长）的波在一定距离上波形的密集程度是不同的，波形越密集的，则波数越大，我们可以通过算出节点数，便可以知道某特定波的波长或频率的大小。
波数与波长之间的关系具体表达式如下：
】
根据公式
其中， n 是一个正整数，L是空腔的长度，λ是驻波的波长。
转变为波数形式如下：
在三维空间中，一个特定的驻波模式用波矢量来描述时，则可用的三个正整数来描述，分别对应于沿着 x, y, z 方向上的波节点数。具体形式为：
其中，k表示波矢量，nx ，ny ，nz 表示分别在x、y、z轴上取得的正整数，L是立方体空腔的边长。
波矢量的大小满足
其中，k表示波数，n是空腔边长与驻波半个波长的比值（取正整数），nx ，ny ，nz 表示分别在x、y、z轴上取得的正整数，L是立方体空腔的边长。
七、计算出黑体内所有模式数从上面的公式可知，n不变，则每当nx ，ny ，nz 以1为单位改变时得到的某驻波的坐标点其实是在以n为大小的半径的球的表面上的坐标点，每个点之间相隔1，即同一频率不同方向的驻波分别占据边长为1的正方形中，只要算出此球表面上正方形的数量，便可以得出某个特定频率驻波模式的数量了。
如果是要求出所有不同频率驻波的数量，则需要求出以n为半径的球的体积了。
由于nx ，ny ，nz 以1取正整数，所以，体积只占整个球体的体积的1/8，再考虑光有两个偏振方向，所以
其中，V表示黑体内所有频率的驻波模式数，k表示波数，L是立方体空腔的边长。
八、计算从v到v+dv之间模式密度
由于我们要总结出黑体内辐射能量密度随频率v变化而变化情况，因此，我们要先计算出当波数发生dk变化时（其实dk=1)模式数量。
把上面的两边进行微分计算，得
其中，dV表示黑体内在k到k+dk的波数范围内所有驻波的模式数，k表示某波的波数，L是立方体空腔的边长，dk表示波数为k的波与波数为k+dk的波之间的波数差。
把上式转变为常用的包含频率v的表达式，则为
其中，dV表示黑体内在k到k+dk的波数范围内所有驻波的模式数，v表示某波的频率，c是光速，L是立方体空腔的边长，dv表示频率为v的波与频率为v+dv的波之间的频率差。
而如果只考虑单位体积内的情况，则将上式除以黑体的三维正方体的体积，则黑体内在频率为v的波与频率为v+dv的波之间的模式密度值就等于
其中，ρ（v)表示黑体内在v到v+dv的频率范围内模式密度值，v表示某驻波的频率，c是光速。
九、计算黑体辐射能量密度
如果假定每种模式的能量都遵守能量均分定理，对于电磁波，由于每个模式有两个自由度（电场和磁场），因此每个模式的平均能量为kT。
则单位体积内的总能量密度 u(v,T) 可以通过模式密度和平均能量的乘积得到：
其中，u（v,T)表示单位体积内的总能量密度 ，v表示某驻波的频率，c是光速，k是玻尔兹曼常数，T是温度。
十、普朗克黑体辐射定律
通过对瑞利-金斯公式的推导，我们发现，此推导过程最大的问题是假定每种模式的能量遵守能量均分定理，即假定每种模式的能量为kT。因此，造成在低温区域与数据基本吻合，而在高温区域出现“紫外灾难”。
特朗普假定每个驻波模式的能量E=nhv，其中n是此模式中的光子数，h是指一个常数，v是指光的频率（或称驻波频率）。
每个驻波模式的平均能量遵守玻尔兹曼能量分布定律——在热平衡状态下不同能量状态呈指数的概率分布，表达式如下：
当单位体积内的总能量密度 u(v,T) 仍通过模式密度和平均能量的乘积得到：
这就是普朗克黑体辐射定律。
因此，当波的频率很高时，能量将呈指数衰减，公式与实验数据完美吻合。
瑞利与金斯巧妙避开波函数来得到辐射分布定律是非常了不起的。这与费曼推导出辐射分布定律是同样的精彩。
（注：上述观点部分引用知乎博主“拉格朗日的忧郁”的文章观点以及网络查找的内容。）
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