摘要：在几何动点问题系列中，运动轨迹问题通常难度较高，需要学生对整个运动过程中，点的运动路径有清醒的认识，更需要用方程或函数去描述，当我们建立了平面直角坐标系之后，初中数学范围内运动过程中点的每一段状态，都可以有相应的函数描述，每一个点的位置，都可以找到相应的方程的

庞斯莱(V.Poncelet)的玩具——定线轨迹问题探究

在几何动点问题系列中，运动轨迹问题通常难度较高，需要学生对整个运动过程中，点的运动路径有清醒的认识，更需要用方程或函数去描述，当我们建立了平面直角坐标系之后，初中数学范围内运动过程中点的每一段状态，都可以有相应的函数描述，每一个点的位置，都可以找到相应的方程的解。基于以上认知，再来看定线问题，所谓定线，可分为固定直线、过定点的直线、定圆等，涉及到的知识很多，这里的“定”是确定的意思，可以是已知数值，也可以是字母表示的常数，理解了这些内容，我们来看下面这道题：

题目

解析：

(1)先理解玩具中的小棍在数学上的意义，即定长线段，按题目描述，设AB=BC=BG=a，AF=AD=b，CD=DE=EF=CF=c，其中a、b、c均为常数，并满足a

由这些条件，本小题可轻松秒掉了，如下图：

连接DF之后，点A到线段DF两端距离相等，点C到线段DF两端距离相等，点E到线段DF两端距离相等，因此这三个点都在线段DF的垂直平分线上，即图中的AE所在直线；

(2)图中已经给出了这条定线EH，由于EH⊥AB，因此我们只需要说明AH长度是定值，当AH长度为定值的时候，则点H为定点，而直线上经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，从而说明EH是定线；

连接CG，如下图：

连接CG的目的是构造出一对相似三角形，△AGC∽△AEH，从而得到AC：AH=AG：AE，于是AH=AC·AE/AG，我们将等式右边的线段AC，AE，AG分别用含a，b，c的代数式表示出来，便可说明AH的长为定值；

解题思考：

在给学生完成的过程中，很多学生在审题环节被pass掉了，玩具的原理描述中，实际上是三种不同长度的木棍，这些长度就是定值线段，即需要我们用数学的眼光去看待玩具构成中的木棍；

另一个理解上的难点在于定线的理解，点E在一定直线上运动，在结论之前，题目给出了“当点C在半圆B上运动时，点E在一条直线上运动”，即点C和点E是相关联的两个动点，由点C带动点E运动，之所以能带动，则是线段定长的原因，这需要一点生活经验，我们不少学生玩过玩具，这种连杆结构的玩具，就是典型的由几根长度不一的木棍连接之后，相互之间的转动，但联动之下某个点会出现一种定态，很多机械方面的原理都与此有关；

在用参数表示线段AH长度的时候，相似三角形只是个引子，并没有涉及到复杂的比例变换，这十分贴合2022版新课标中对相似内容的学业要求，重点在于对其中线段之间关系的寻找，勾股定理反倒更关键；

最后，顺便说一下这道题目的制图，无论是用几何画板或是GeoGebra，一定要作定长线段才能完美呈现整个动态过程。

来源：爱数学做数学一点号