摘要：这篇文章是本人在2024年学习波束赋形的时候写的一系列文章中的第二篇，着重于理论推导，于2024年10月26日发表于本人的公众号，现在发到这里，希望对读者有所帮助。

这篇文章是本人在2024年学习波束赋形的时候写的一系列文章中的第二篇，着重于理论推导，于2024年10月26日发表于本人的公众号，现在发到这里，希望对读者有所帮助。

平面阵列天线的阵元处于同一个平面上，按特定的规律排列。

下图是一个阵元以 M x N 矩形分布的阵列天线的例子，这种阵元分布比较典型，另一种比较典型的分布是奇偶行错开 dy/2 的交错排列，其他排列方式比如环形排列也有实际使用的例子。

平面阵列天线的阵元分布可以根据安装环境和使用需求选择，M和N并不必须相等，dy和dz也并不必须相等。

阵列天线不同的阵元分布的计算公式完全不同，本文以下图所示的阵列天线阵元分布为例进行理论推导，推导中将天线阵面布置在YZ平面上，波束指向X轴方向。

如图所示，天线阵面位于YZ平面，阵元[0,0]位于原点处，阵面法线方向为X轴，接收机在水平面上的方位角为θ，仰俯角为φ。

设阵列中的第n行第m列的阵元[m,n]坐标为(xmn,ymn,zmn)，接收机位于(xr,yr,zr)。则阵元与接收机的距离Srmn 为：

展开后为：

由于：

设阵元[m,n]的方位角和仰俯角为 θmn 和 φmn ，考虑到天线阵位于YZ平面上，即：

将坐标变换代入：

考虑到Sr远大于Smn，所以：

在上面的公式中用约等式右侧代替根号内的第二项中的Smn并不会对结果产生实际影响，则上面的公式可以变为：

阵元[0,0]位于坐标原点，所以接收机到阵元[0,0]的距离等于Sr ,因此接收机到阵元[m,n]和阵元[0,0]的波程差为：

注意到这个波程差是负的，根据平面阵列天线的形状和位置的设定，这个负值是符合直觉的，这个情况同时说明推导结果与阵列布局的设定是密切相关的。

有了波程差就可以得到相位差：

设阵元[0,0]在接收机处的信号为：

接收机收到的所有阵元的叠加信号为：

请注意波长λ=c/f，因此f/c在代码中表达为1/λ。

根据上面的推导得到天线方向图公式：

用MATLAB中在-90°到90°之间按一定的分辨率遍历θ和φ值，就可以画出天线方向图（下图为16x16阵元平面阵列天线的方向图）：

与线性阵列天线类似，如果需要将波束主瓣指向接收机方向，需要对因波程差而带来的相位差进行补偿，设接收机方位角α，仰俯角β, 各阵元的信号到达接收机位置时的相位差为：

因此需要补偿的发射相位为：

当叠加这个发射相位后，接收机侧的叠加信号变成：

对上述公式稍加变形：

其中

是各个天线阵元的波束赋形系数。

当α=45°，β=30°时，对于一个16阵元的平面阵列，在MATLAB中仿真得到方向图为：

如果在-60°到60°的范围内，按一定的分辨率遍历α和β的值，就可以得到一个覆盖120°方位角和仰俯角的扫描波束。不过波束扫描的GIF图实在太大了，没法上传上来。至此，相控阵雷达已经初步具备了三坐标能力。

与线性阵列天线类似，如果需要同时生成若干个指向不同方向的信号波束，可以为每个波束生成一组系数，然后把它们加起来，并合理分配功率即可。

值得注意的是：波束和阵列法线的夹角不宜超过60°，从代码运行时看，当α和β同时达到±60°时，主瓣已经严重畸变了，因为此时波束和阵列法线的夹角已经远超60°。从网上资料看，平面阵列天线的工作范围，是以法线为中心，顶角120°的锥体。

l 文中所有的计算和推导都是基于点状天线阵元，在实际使用中天线阵元的尺寸和形状是不可忽略的，天线振子的设计是一个单独的学科，对于天线增益和方向图都有很大的影响。

本文中对单一波束的赋形系数的模值都是1，只有相位差别，相控阵天线以此得名，实际应用时波束形状控制以及旁瓣抑制需要更复杂的波束赋形算法来控制每个阵元的幅度和相位，如：遗传算法、粒子群算法、进化差分算法等，5G标准也有关于自适应波束形成MVDR(Minimum Variance Distortionless Response)的说明，这是可以进行进一步学习的内容。

来源：修杰教育