摘要：本文推出的这道中考压轴大题，难度适宜，适合新九年级程度较好的同学预习使用。
本文推出的这道中考压轴大题，难度适宜，适合新九年级程度较好的同学预习使用。
本文讲解细致、分析透彻，提供了多种解法，对发散思维、提高分析能力大有裨益。
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(1)求抛物线的表达式(要求4种解法)；
(2)设点D的横坐标为t，
①用含有t的代数式表示线段DE的长度；
②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值(要求至少3种详细解法)。
解法一：函数图像经过某点，则某点的坐标满足函数表达式。
由题意，抛物线经过点A(－2，0)和B(6，0)。
将x＝－2，y＝0代入y＝ax2＋bx＋3得4a－2b＋3＝0-----①
将x＝6，y＝0代入y＝ax2＋bx＋3得36a＋6b＋3＝0-----②
联立①②解得a＝－，b＝1，故该抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋3。解法二：由OA＝2，OB＝6知A(－2，0)，B(6，0)。
由此可设抛物线表达式为y＝a[x－(－2)](x－6)＝a(x＋2)(x－6)，
知道抛物线经过x轴上两点(x1，0)和(x2，0)时，通常将抛物线表达式设为y＝a(x－x12)。由已知C(0，3)，将x＝0，y＝3代入y＝a(x＋2)(x－6)得a＝－，
故该抛物线的表达式为y＝－(x＋2)(x－6)。
由根与系数关系(韦达定理)知(－2)＋6＝－，(－2)×6＝，
容易解得a＝－，b＝1，故该抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋3。解法四：由OA＝2，OB＝6知，该抛物线的对称轴为x＝2，
故该抛物线可表达为y＝a(x－2)2＋m，将C(0，3)和A(－2，0)代入得4a＋m＝3，16a＋m＝0，两式相减12a＝－3，a＝－，则m＝4，故该抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋4。有人嘲笑这是孔乙己的“回字有四种写法”。
我的意思是你脑袋里不能只有一种解决方案。
万一遇到突发紧急情况，你那单一的方法，根本控制不住局面。
所以，要善于探究不同解法。
第①小问
点D是直线BC上方的抛物线上一动点，点D的横坐标为t，显然t的范围是0＜t＜6。
由题意，DF⊥AB交BC于点E，故点E和点D的横坐标相同，为xE＝xD＝t，纵坐标为y＝－t2＋t＋3。点E在直线BC(y＝－x＋3)上，则点E纵坐标为yE＝－t＋3。故DE的长度为yD－yE2＋t (0＜t＜6)。第①小问，坐标系内线段长度，无论是水平方向线段、还是竖直方向线段，均用大坐标减小坐标。
如本题，DE在竖直方向上，点D的纵坐标大于点E的纵坐标，大减小。
如果求解坐标系内倾斜方向线段长度，通常用两点间的距离公式距离公式。
第②小问
有关“抛物线、是否存在等腰三角形”之类综合题，通常把三角形的三条边求出来。特殊情形当然也可利用等腰三角形性质。注意分情形讨论。
由题意，相关点的坐标分别为C(0，3)，D(t，－t2＋t＋3)，E(t，－t＋3)。则由平面内两点间的距离公式易得：CD2＝(t－0)22＋t＋3)－3]2＝t4－t3＋2tCE2＋[(－t＋3)－3]2＝tDE＝(－t22＝t4－t3＋t2首先作答存在。
综上，存在，给他写上点D的三个坐标。
第②小问难度不大，但注意计算必须“细心、一遍做对”，咱没时间复查。
【点拨】咱要先搞清点G的坐标。尅贼要先弄明贼的位置。
由题意点E的坐标为(t，－t＋3)，过点G作GH⊥x轴于点H，易证得Rt△OGH≌Rt△EOF(AAS)，故点G的坐标为(－t＋3，－t)。已知点A坐标为(－2，0)。由此派生出解法一和解法二。
第三问的解法一：由A、G两点坐标，很容易想到两点间的距离公式。
第三问的解法二：由点G坐标推知点G运动轨迹。
点G的坐标为(－t＋3，－t)，不难看出，其纵坐标等于其横坐标的2倍减去6。
即点G运动轨迹是y＝2x－6(0＜x＜6)，
其横坐标x的范围的来历：由0＜t＜6知－6＜－t＜0，－3＜－t＜0，故0＜－t＋3＜3。
如下图，定点A(－2，0)到点G轨迹y＝2x－6(0＜x＜6)的最短距离为当AG与直线y＝2x－6垂直时。
由Rt△AGM∽Rt△NOM得AG:NO＝AM:NM，即AG:6＝5:3，故此时AG＝2。
第三问的解法三：辅助线构造全等，结合三角函数或相似。
在x轴上截取OP＝OC＝3，又∠3＝∠2，OG＝OE，故△OPG≌△OCE(SAS)，则对应角∠4＝∠5。则sin∠4＝sin∠5＝＝。
点D和点E均为动点，这导致点G的位置也随之变动。
观察△AGP：①AP＝5，定值。②sin∠4＝定值。③AG长短、方向均不定。④PG长短不定，方向固定。
啥时候AG最短？
当且仅当AG与PG垂直时。
此时AG＝AP×sin∠4＝5×＝2。
谁如果利用Rt△AGP∽Rt△BOC求解也行。
【总结】当AG最段时：①AG∥CB；②D、E、G三点均在抛物线对称轴x＝2上，且D为抛物线顶点。
到了初三，该提高自学能力了。因为高中对自学能力要求更高。
初中所学的数学，到了高中，仅仅是小工具而已。
只是，数形结合、分情形讨论等解题思想，到高中依然有用。
高中的数学和物理，较难。提醒注意。
我正巧擅长讲解高中物理和数学。请持续关注。
作者简介
中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。
专注教育领域，持续发布小升初、中考、高考压轴大题的多角度原创详细权威解析，力求篇篇经典。不卖课、不带货、不卖资料，干干净净免费传播知识。
发文涉及科目主要有中考、高考数学，物理，也有英语，化学，作文。
到了高中，俺依然是您的良师益友。
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来源：琪琪课堂