（易经）中“万物生”的数学模型

摘要：易经中的“万物生”指的是从太极到两仪、四象、八卦乃至六十四卦的生成过程，体现了宇宙万物的变化和衍生。多重复数群（这里指多个复数单位的乘法群，如 $U(1)^n$ 的运算规则可以提供一种数学模型来描述这一过程。本文将基于多重复数群的群论结构，论述易经万物生的具体

引言

易经中的“万物生”指的是从太极到两仪、四象、八卦乃至六十四卦的生成过程，体现了宇宙万物的变化和衍生。多重复数群（这里指多个复数单位的乘法群，如 $U(1)^n$ 的运算规则可以提供一种数学模型来描述这一过程。本文将基于多重复数群的群论结构，论述易经万物生的具体数学模型。

多重复数群的运算规则

多重复数群通常指具有多个复数单位的群结构，例如 $U(1)^n$（$n$ 个复数单位圆的直积）或（$n$ 个非零复数的直积）。其运算规则为：

群运算：乘法运算（点乘），即对于任意两个元素 $z = (z_1, z_2, \dots, z_n)$ 和 $w = (w_1, w_2, \dots, w_n)$，有 $z \cdot w = (z_1 w_1, z_2 w_2, \dots, z_n w_n)$。单位元：$e = (1, 1, \dots, 1)$，对应乘法单位元。逆元：每个元素 $z = (z_1, z_2, \dots, z_n)$ 的逆元为 $z^{-1} = (z_1^{-1}, z_2^{-1}, \dots, z_n^{-1})$。生成元：群可以由生成元生成，例如在 $U(1)^n$ 中，生成元可以是 $g_k = (1, \dots, e^{i\pi}, \dots, 1)$（第 $k$ 个分量为 $e^{i\pi} = -1$，其余为 1），对应角度加法 modulo $2\pi$。

在易经的语境中，我们关注离散状态，因此取 $U(1)^n$ 的离散子群 $\{1, -1\}^n$，这是一个同构于 $\mathbb{Z}_2^n$ 的 Abel 群。每个分量取值为 $1$（阳）或 $-1$（阴），对应爻的状态。

易经万物生的数学模型

易经的生成过程从太极开始，逐步衍生出两仪、四象、八卦和六十四卦。这一过程可以通过多重复数群的运算规则模型化：

太极：对应群单位元 $e = (1, 1, \dots, 1)$，表示万物之源或初始状态。两仪：通过应用一个生成元得到。例如，应用 $g_1 = (-1, 1, \dots, 1)$，得到两仪：阳仪 $(1, 1, \dots, 1)$ 和阴仪 $(-1, 1, \dots, 1)$。在群论中，这相当于生成群 $\mathbb{Z}_2$。四象：通过应用两个生成元得到。例如，应用 $g_1$ 和 $g_2$，得到四象： $(1,1), (-1,1), (1,-1), (-1,-1)$，对应群 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$。八卦：通过应用三个生成元得到。例如，应用 $g_1, g_2, g_3$，得到八卦的所有元素，对应群 $\mathbb{Z}_2^3$。每个元素如 $(1,1,1)$ 为乾卦， $(-1,1,1)$ 为兑卦，等。六十四卦：通过应用六个生成元得到，对应群 $\mathbb{Z}_2^6$。六十四卦由两个八卦重叠而成，在群论中相当于直积 $\mathbb{Z}_2^3 \times \mathbb{Z}_2^3 = \mathbb{Z}_2^6$。

变化与万物生的动态过程

易经中的“生”不仅指静态生成，还指动态变化（如爻变）。多重复数群的运算规则可以模型化这一变化：

爻变：当一个爻发生变化（老阳变阴或老阴变阳），在数学上对应乘以生成元 $g_k$，即改变第 $k$ 个分量的符号。例如，卦 $z = (z_1, z_2, \dots, z_n)$ 经过爻变后成为 $z \cdot g_k = (z_1, \dots, -z_k, \dots, z_n)$。整体变化：卦之间的转换可以通过群运算实现，如乘法或群动作。万物生的过程相当于从单位元出发，通过连续应用生成元，生成所有群元素，覆盖所有可能的卦象。

具体数学模型公式

设 $G = \{1, -1\}^n$ 为多重复数群（离散形式），其中 $n$ 为爻数（对于八卦 $n=3$，对于六十四卦 $n=6$）。

太极： $e = (1, 1, \dots, 1)$。生成元： $g_k = (1, \dots, -1, \dots, 1)$（第 $k$ 个分量为 $-1$）。生成过程：从 $e$ 开始，通过应用生成元的乘积生成所有元素： $z = g_1^{a_1} g_2^{a_2} \dots g_n^{a_n}$，其中 $a_k \in \{0,1\}$，对应二进制选择。变化算子：定义变化算子 $T_k(z) = z \cdot g_k$，实现爻变。