摘要：13.已知平面内一动圆过点P(2，0)，且该圆被y轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线E。
这是一道短小精悍的竞赛题。
然而实际去求解，却发现没有想象中的那么轻松。
本题位于整张试卷的倒数第二道，18分。
做一下就知道啥是灾难了。
阁下敢挑战一下第二问吗？
13.已知平面内一动圆过点P(2，0)，且该圆被y轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线E。
(1)求曲线E的方程；
(2)梯形ABCD的四个顶点均在曲线E上，AB∥CD，对角线AC与BD交于点T(2，1)。
①求直线AB的斜率；
②证明：直线AD与BC交于定点，并求出该定点的坐标。
第一问属于送分。快速画出草图。
他问“圆心轨迹”，那就设圆心坐标为(x，y)，该圆半径为r。
紧抓并利用两点：
①动圆过点P(2，0)；
②该圆被y轴截得的弦长为4。
由此可得EH2＋MH2＝EM2，即x2＋22＝r2。由以上两式得(2－x)2＋y2＝x2＋22，即y2＝4x。原题没给图。自己快速画，画正确。
快速提炼题干，得以下三条价值信息：
①AB∥CD，则AB与CD斜率相同；
②A、T、C三点共线，B、T、D三点共线；
③由A、B、C、D均在y2＝4x上设四点坐标。擒拿第①小问，就这三招。
则相应横坐标分别为
根据题意挖掘，能挖多少算多少。注意多动手、不宜盯着题长时间硬看。下面该从三点共线挖掘了吧？
您说，第①小问难吗？
主要是(x－1)(y－1)＝xy－(x＋y)＋1在作祟。
围绕目标，紧抓已知，灵活变形。
至于遇到啥情形该咋变，注意积累经验，注意多体会总结。
他让证明直线AD与BC交于定点(设为N)。
如果您图形画得准，就不难用肉眼看出，定点的纵坐标与对角线交点T的纵坐标是相同的，均为1。
而实际上，在第①小问，已经求出nB＋nA＝2＝nD＋nC。这表明，AB中点(设为R)的纵坐标和CD中点(设为Q)的纵坐标均为1。
而点对角线交点T的的纵坐标也恰好为1。
这表明梯形上下底的中点和对角线交点均在同一直线y＝1上。
现在，问题归结为：证明梯形两腰延长线的交点在两底中点的连线上。
哇，这不是初中的题嘛。
如下图，连接NQ交AB于点R'，
由AB∥CD得△NAR'∽△NDQ，△NBR'∽△NCQ，
故AR':DQ＝NR':NQ＝BR':CQ，
而DQ＝CQ，故AR'＝BR'，即R'为AB中点，故R'和R重合、点R在NQ上，故N、R、Q三点共线，故点N纵坐标为yN＝1。以上用初中方法求点N纵坐标，仅是粗略快速判断，对于选择、填空较快捷。
点N的横坐标如何求？
真正求点N的坐标，还是走正规高中流程。
已求得nB＋nA＝nD＋nC＝2，故有(nB＋nA)(nD＋nC)＝4，即nAnC＋nAnD＋nBnC＋nBnD＝4-------④设点N的坐标为(xN，yN)，曾经由A、T、C三点共线得nC＋nA－nCnA＝8，
曾经由B、T、D三点共线得nB＋nD－nBnD＝8，
两式相加，得：(nD＋nA＋nC＋nB)－nCnA－nBnD＝16，即4－nCnA－nBnD＝16，故nCnA＋nBnD已求得nAnC＋nAnD＋nBnC＋nBnD＝4-------④由④⑧得nAnD＋nBnC＝4＋12-----⑨则点N的坐标为(－1.5，1)。
这样的解法，通过对照⑦和⑨，得出点N的横纵坐标，您有疑问吗？
您当然可以由⑦＋⑧得：
nAnD＋nBnC＋nCnA＋nBnD＝4yN－8xN－12---------⑩由④⑩得4＝4yN－8xN－12，即yN－2xN＝4-------⑪已求得点N纵坐标为yN＝1，代入⑪得xN＝－1.5，故点N的坐标为(－1.5，1)。
即直线AD与BC交于定点N，定点N的坐标为(－1.5，1)。
据同学说，这是辽宁铁岭的高中组竞赛题倒数第二道。得分率不太理想。
有同学说，这里面纵坐标的纠缠真让人头晕。
解析几何，本来有时候计算量就较大。请一定注意高屋建瓴、理清头绪。
对于高三同学，建议跟班级复习进度尽量步调一致。
有余力情况下，哪一块(比如解析几何)曾经学得不好，可适当弥补。
作者简介
中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。
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发文涉及科目主要有中考、高考数学，物理，也有英语，化学，作文。
整个高中，俺依然是您的良师益友。
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来源：娇娇课堂