摘要：“洛伦兹变换是用于描述两个以恒定速度相对于彼此移动的惯性参考系之间的空间和时间坐标的转换关系。洛仑兹变换的推导可先要从狭义相对论效应谈起。”
知新物理
“洛伦兹变换是用于描述两个以恒定速度相对于彼此移动的惯性参考系之间的空间和时间坐标的转换关系。洛仑兹变换的推导可先要从狭义相对论效应谈起。”
一、狭义相对论的“钟慢尺短”效应推导
我们先考虑一维空间（空间大小用x表示），且从两种极端情况开始。
（1）光的传播方向与参照系运动方向垂直——推导出时钟迟缓效应；
考虑一个在地面上以速度u水平向右运动的小车，小车顶部中央有一光源S ，某时刻光源发出一道光照向小车的地板中央的A点。
我们取地面系（即静止系）为K系，取相对小车静止的参考系（即运动系）为K'系。
如下，刚开始小车的图形由黑线勾勒，一段时间后小车运动到蓝色绘图的位置。
当我们在K'系中，我们看到的是光线是沿SA'传播的，光线在经过时间t'后垂直到达地板，因此我们可以写：
其中，t'为在K'系中测量的时间，h为K'系中测量的高度，c为光速。
但是，当我们在K系中观察时，会发现如果光线同样到达小车地板中央，则观测到的光线路径变成了SA ，则
由于SA=ct，SA'=h，AA'=ut，则上式变为：
其中，h为K'系或K系中测量的高度（由于参照系在h方向上没有移动速度，所以两个参照系中h的大小相同），u为在K系中测量到K'相对K系的运动速度（在K'系中是感受不到自身的运动速度u的存在的），t为在K系中测量的时间。
通过对上面的两个公式合并，我们可以得到两个参照系的时间关系：
其中，t为在K系中测量的时间，t‘为在K’系中测量的时间，u为在K系中测量到K'相对K系的运动速度，c为光速。
从这个式子可以看出，在地球表面上和运动系中分别测量的一秒钟，当把两个时间放在一起比较时，地球表面上的一秒钟竟会比运动系中测量的一秒钟时长更长，这就是“时钟迟缓”现象。
具体的推导过程如下：
物理学上，将上式中系数称为洛仑兹因子γ，即
（2）光的传播方向与参照系运动方向一致——推导出动尺收缩效应；
仍考虑一个在地面上以速度u水平向右运动的小车，小车中央有一光源S ，某时刻光源向左右发出一道光照向小车的前后壁面上，光源到前后壁面的距离分别x。
我们仍取地面系（即静止系）为K系，取相对小车静止的参考系（即运动系）为K'系。
如下，刚开始小车的图形由黑线勾勒，一段时间后小车运动到蓝色绘图的位置。
当我们在K系中观察时，会发现如果光线到达小车前后壁面上的时间分别为
其中，t1和t2分别是在K系中测量的时间，x是在K系中测量的光源到前后壁的距离，u为在K系中测量的K'系相对于K系的运动速度，c是光速。
将上式进一步变换，则为
其中，t1和t2分别是在K系中测量的时间，x是在K系中测量的光源到前后壁的距离，u为在K系中测量的K'系相对于K系的运动速度，c是光速。
【补充：为什么要测量光分别到前后壁的时间？因为，光分别到达前后壁，是两个独立的事件，也就是说，有两个关于不同参照系的距离关系的等式，这样的话，相当于增加了已知条件来求解不同参照系的距离关系。】
则总时间为
其中，t1和t2分别是在K系中测量的光到达前后壁的时间，x是在K系中测量的光源到前后壁的距离，u为在K系中测量的K'系相对于K系的运动速度，c是光速。
当我们在K'系中，会发现如果光线到达小车前后壁面上的时间分别为：
其中，t1'和t2'分别是在K'系中测量的光到达前后壁的时间，x'是在K'系中测量的光源到前后壁的距离，c是光速。
则总时间为
由于两个参照系中的时间关系如下
将t1+t2和t1'+t2'的结果分别代入上式中，得
进一步化简得
这就意味着，在K系中测量的K'系中的某物体的长度x比K'系中测量这个物体的长度x’更小，这就是“动尺收缩”效应。
二、利用狭义相对论的“钟慢尺短”效应推导
洛伦兹变换是用于描述两个以恒定速度相对于彼此移动的惯性参考系之间的空间和时间坐标的转换关系。我们分别从空间变换和时间变换来讨论。
（1）空间变换
K'系相对K系以速度u向x 轴正向移动。初始时刻，两个坐标系完全重合，时间起点均为0。
一段时间后，两个坐标系发生相对位移，这时p事件发生。事件p 在K系的坐标是(x,y,z,t) ，在K'系是(x',y',z',t') 。
在K'系观测到横坐标距离是x'，但在K系中，这个观测结果会发生尺缩效应，也就是变成了:
因此，对于在K系中的观测者来说，事件p 的坐标就是KK' 的距离与上述收缩后的距离之和：
也就是说，从K系映射到K'系的洛伦兹空间变换式是：
（2）时间变换
根据光速不变，则下列两式应成立：
将上式代入洛伦兹空间变换式中，得到
经过变形，我们便可以得到洛伦兹时间变换式是：
【补充：时间变换式中本可以消除x，为什么要保留x？一个事件的时间坐标不仅仅取决于它在原参考系中的时间，还受到它在该参考系中的空间位置的影响。】
三、结论
综上所述，我们就得到了洛伦兹时间和空间变换式为：
【注：本文参考知乎作者Siecho的文章《更直观自然地推导洛伦兹变换——狭义相对论篇》】
来源：该名字又是已经存在了一点号