摘要：一种深奥的理论出现后，需要一段时间才能渗入通俗文学作品中，今天也是如此。如果 19 世纪八九十年代的文学家们在写关于空间的可能或不可能出现的维数的流行作品，那么我们可以肯定，当时的职业数学家们已经对这样的问题思考几十年了。
一种深奥的理论出现后，需要一段时间才能渗入通俗文学作品中，今天也是如此。如果 19 世纪八九十年代的文学家们在写关于空间的可能或不可能出现的维数的流行作品，那么我们可以肯定，当时的职业数学家们已经对这样的问题思考几十年了。
委婉一点儿说，数学小说并不是一个很大或者很突出的文学门类。埃德温·艾勃特（1838—1926）的《平面国：多维空间传奇往事》（Flatland: A Romance of Many Dimensions）是其中极少数持续畅销的作品之一，该书于 1884 年首次出版，至今仍在重印。
《平面国》是以一个自称为“正方形”的生物的口吻讲述的。事实上，他是一个生活在二维世界“平面国”里的正方形。平面国里居住着各种其他生物，他们是拥有不同程度正规性的平面图形：等腰三角形（两条边相等）、等边三角形（三条边全相等）、正方形、五边形和六边形，等等。这里的社会等级制度如下：拥有的边越多，生物的等级就越高，圆的等级最高；女性只是线段，会受到各种社会限制和歧视。
《平面国》的前半部分描述了平面国及其社会的各个阶层。作者用大量篇幅介绍了如何确定一个陌生人在社会中的等级，这是个棘手的问题。因为平面国人的视线是一维的（就像你的视线是二维的一样），他们在视野中看到的对象只有线段，只能通过触摸来确定陌生人的实际形状，然后才能知道其等级。因此，在这个国度，常见的介绍方式是：“请你摸一摸某某阁下。”
在那本书的后半部分，正方形探索了其他世界。在梦里，他参观了直线国，这是一个一维的地方，作者用了 11 页来介绍这个国家。因为直线国人永远无法越过其两端的邻居，所以这个物种的繁衍就成了问题，艾勃特用极大的智慧解决了这个问题。
正方形醒来后，回到了自己的世界——平面国。不久之后，来自三维世界的一个生物——球——造访了这里，球以一种不稳定的方式或多或少地进入平面国。在正方形看来，球是一个神秘的会伸缩的圆。球与正方形进行了一场哲学对话，球向正方形介绍了单点国——一个零维空间，那里只有一个居民：“他自己就是这个世界的全部，除此之外别无其他。然而，你要留意他那自满十足的样子，从中吸取教训，他的这种沾沾自喜既可恨又无知，他所追求的就是盲目无知的幸福。”我想我们都遇到过这个生物。
《平面国》出版时，艾勃特还不到 46 岁。在 1911 年的《大英百科全书》中，介绍他的词条共有 240 个单词，把他描述成一位“英国校长和神学家”，但没有提及《平面国》。受到基督教的个人观点和对维多利亚时代的社会习俗的怀疑的影响，艾勃特实际上是一位怀有改革和进步思想的男校校长。《平面国》间接而温和地讽刺了当时的社会。
自《平面国》出版以来的 100 多年来，该书吸引了无数读者的关注，激发了他们的想象力。事实上，这部作品还有一系列著作和故事作为续集。迪奥尼斯·布格尔的《球国：关于弯曲空间和膨胀宇宙的幻想》（Sphereland: A Fantasy About Curved Spaces and an Expanding Universe）和伊恩·斯图尔特的《二维国内外：数宇漫游奇历记》（Flatterland: Like Flatland, Only More So）都是以艾勃特的原创思想为基础的优秀作品。
1984 年，杜德尼在《平面世界：与二维世界的一次亲密接触》（The Planiverse: Computer Contact with a Two - Dimensional World）中深入、透彻地研究了二维世界中物理学、化学和生物学的存在性，而在艾勃特的作品中，这类内容很少，而且也不令人信服。虽然文学价值稍低，但也给人留下印象的作品还有鲁迪·拉克（1946— ）的小说《平面国里的消息》（Message Found in a Copy of Flatland），书中的主人公在伦敦的一家巴基斯坦餐厅的地下室中偶然发现了平面国，他最后吃掉了平面国人，这些生物“尝起来有些像水分很多的烟熏鲑鱼”。
零维空间、一维空间、二维空间和三维空间，为什么到此就停止了呢？也许，大多数非数学专业人士是从韦尔斯出版于 1895 年的小说《时间机器》（The Time Machine）中第一次听说第四维的，这本小说的主人公是这样说的：
据说，数学家们研究的空间有三个维度，分别是长度、宽度和厚度，这些维度可以由三个平面来决定，每个平面都与其他两个平面成直角。但是一些哲学人士一直在问为什么要特别考虑三个维度？为什么没有另一个与这三个平面都成直角的方向呢？他们甚至去尝试构造一种四维几何。
事实确实如此。在 19 世纪的第二个 25 年里，各地的数学家们开始产生关于空间维数的想法。在 19 世纪的第三个 25 年里，这些零散的想法被汇集到一起，伟大的德国数学家菲利克斯·克莱因（1849—1925）得出了下面的后见之明：“1870 年左右，n 维空间的概念成为年轻一代优秀数学家的必备知识。”
这些想法从何而来？在 19 世纪初，它们还不见踪影；但到了19 世纪末，它们已经广为人知，甚至出现在通俗小说中。谁第一个想到了它们？为什么它们会在这个特殊的时间出现？
上文转自图灵新知，节选自《代数的历史》，【遇见数学】已获转发许可。
来源：遇见数学
