摘要：外形和心脏一样的心脏线，几世纪以来都由于它的数学性质、图案美观以及实用的特性，让数学家们深深着迷。想要画出这条曲线，只需要追踪圆上的某一点，让该点随着圆绕行另一个半径相同且紧邻的（固定）圆，并逐一描出该点的轨迹即可。心脏线的英文名源自希腊文的“心”，用极坐标表
心脏线
图中心脏线外形是由圆上两端点的直线所组成，且左半边端点联机速度是右半边的两倍。
蔓叶线（约公元前180年），奈尔类立方拋物线的长度（1657年），星形线（1674年），分形（1975年）及曼德博集合（1980年）
外形和心脏一样的心脏线，几世纪以来都由于它的数学性质、图案美观以及实用的特性，让数学家们深深着迷。想要画出这条曲线，只需要追踪圆上的某一点，让该点随着圆绕行另一个半径相同且紧邻的（固定）圆，并逐一描出该点的轨迹即可。心脏线的英文名源自希腊文的“心”，用极坐标表示的话，可以写成r=a(1-cosθ)，其面积为(3/2)πa^2，周长为8a。
还有另一个画出心脏线的方法。画出一个圆C，并在其上固定一点P；接下来，循着圆C的周长为圆心，画出一连串大小互异、但一律通过P点的圆，最后描出这一连串圆的轮廓，就可以得到心脏线。很多看似毫不相关的数学领域都能看到心脏线的踪影，像是光学的焦散现象，还有分形几何中曼德博集合中间部位的形状。
历史上有好几个跟心脏线有关的事件。法国律师及业余数学家，也是数学家帕斯卡尔之父的艾提安·帕斯卡尔，大约在1637年，认真研究过心脏线更一般化的情况，并把研究成果称为“巴斯卡耳蜗”。再更早一点，德国画家暨数学家杜勒在1525年所出版的《测量准则》（Underweysung der Messung）一书中，提供绘制这类耳蜗的方法。1674年，丹麦天文学家罗默曾认真思考过开发心脏线外形齿轮齿的可能。另一位法国数学家拉依尔则在1708年，算出心脏线的周长。有趣的是，心脏线这个望文生义的词汇要等到卡斯提伦在1741年于《皇家学会会志》（Philosophical Transactions of the Royal Society）发表论文后，才被广泛引用。
维邱恩（Glen Vecchione）为我们说明了心脏线的实用性：“心脏线可以显示聚集在单一源点往外放射波纹的干扰与全等，如此一来，我们就能找出麦克风或天线感应最灵敏的区域……而心形指向式麦克风就是一种对前方声音敏锐，同时又可以降低后方杂音干扰的麦克风。”
对数螺线
鹦鹉螺就是一个展现对数螺线结构的最佳范例。
螺体内部分割成许多壳室，成年鹦鹉螺最多可以长成30间，甚至更多的壳室。
阿基米德螺线（公元前225年），黄金比（1509年），倾角螺线（1537年），对数（1614年），费马螺线（1636年），奈尔类立方拋物线的长度（1657年），渥德堡铺砖法（1936年），乌拉姆螺线（1963年）及连续三角螺旋（1979年）
大自然中，不论是植物界或动物界都很容易找到对数螺线的轮廓，最常见的例子当属鹦鹉螺或其他贝类生物、长有犄角的各种哺乳类动物、多数植物（譬如向日葵或菊花）种子的排列方式，还有大小不一的松果。加德纳还观察到一种蜘蛛所结的网，会从中心点以对数螺线的方式往外盘绕。
对数螺线（又名为等角螺线或伯努利螺线）可以用极坐标方程式r=keaθ表示，r表示螺线与原点之间的距离，螺线的正切线与画至（r，θ）径线之间的夹角恒为一常数。历史上首次对数螺线的讨论，要追溯到法国数学家暨哲学家笛卡儿在1638年一封写给法国神学家暨数学家——梅森（Marin Mersenne）的信。之后，瑞士数学家伯努利针对这个主题，进行了更广泛的研究。
许多银河星系巨大的螺旋臂堪称最壮观的对数螺线，一般认为必须要有长距离的引力互相牵引，才能创造出这样庞大的秩序。在这样的银河星系中，其螺旋臂就是由一堆活跃的行星所组成。
螺线模式通常自发地出现在大自然中经由对称变换所组成的物质中，这些变换包括了大小改变（成长）与旋转。组织结构依据功能性而决定，而螺线形式可以在拉长一段距离的情况下，维持住组织的紧致结构。在一定长度下维持导管的紧致、在增加表面积的同时兼具一定强度，这对软体动物或是耳蜗都具有显而易见的功用。生物界物种发育成熟之际，通常会让身体各部位以近似比例放大的方式演化，这也可能是大自然为何经常展现自我相似螺线成长的原因。
托里切利的小号
托里切利小号
托里切利小号围出一个体积有限但是表面积无限的物体，这个造型有时候也叫作加百利号角，让人联想到大天使加百利吹动号角宣告审判日的来临。
发现微积分（约1665年），最小曲面（1774年），贝尔特拉米的拟球体（1868年）及康托尔的超限数（1874年）
如果你的朋友给你一加仑的红油漆，并要求你用这桶红油漆涂满无止境的曲面时，你会选择涂在哪种曲面上？这个问题有很多种解答，其中可供选择最有名的造型，就是托里切利的小号——透过函数f(x)=1/x绕着x轴旋转一圈所得出的一种很像小号的物体，其中1≤x＜+∞。运用标准微积分运算就可以证明托里切利小号体积有限但表面积无限的特性。
德菲利斯（John dePillis）认为就数学意义上而言，往托里切利小号内注入红油漆将会填满这个漏斗状的物体，因此，就算我们只有有限的油漆染料，我们还是可以在小号内壁无止境的表面积涂上一层红油漆。很矛盾的说法，不是吗？不过可别忘了，托里切利小号只是数学概念上的一种构造，我们能够用有限的油漆染料“填满”小号，其实只是基于小号体积有限的缘故，因而推论出的一种概略说法。
那么，当函数f(x)=1/x^a当中的a值等于多少时，我们可以画出一个体积有限但面积无限的图形？这个问题就留给你和你的数学同好们排遣时间的时候去想一想吧！
托里切利小号的名称是为了纪念意大利物理学暨数学家托里切利，他在1641年发现这个函数具有连续无限的长度、无止境的表面积和体积有限等惊人的特性，可惜，当年他跟他的同僚认为这种构造实在是一种深刻的悖论，而且，那个时候也没有适当的微积分工具可以完全欣赏、了解这个构造。如今，托里切利留给世人的印象不外乎他所发明的气压计，以及他跟伽利略一起进行的天文观测。托里切利小号有时候也会被称为加百利号角，这个名称会让人联想到大天使加百利吹动号角宣告审判日的来临，并联想到上帝无远弗届的力量。
星形线
星形线
这是用艺术手法呈现许多椭圆“外廓包络线”所产生的星形线（就几何学而言，许多曲线的包络线，其定义就是一条与每条曲线都相切于一点的外廓曲线）。
蔓叶线（约公元前180年），心脏线（1637年），奈尔类立方拋物线的长度（1657年），勒洛三角形（1875年）及超级椭圆蛋（约1965年）
星形线是一个具有四个歧点的曲线，只要大圆的直径是小圆的四倍，并追踪像齿轮般沿着大圆圆周内部滚动的小圆圆周上某一定点轨迹，就能描绘出星形线。各路学有专精的数学家都想找出星形线的奇异特性，使得星形线声名大噪。丹麦天文学家罗默在1674年为了找出更有用的齿轮齿外形，开始针对星形线进行研究，之后，包括瑞士数学家约翰·伯努利在1691年、德国数学家莱布尼兹在1715年、法国数学家达朗伯特在1748年都曾醉心研究过星形线。
星形线的方程式写成x2/3+y2/3=R2/3，其中R是固定外大圆的半径，R/4就是在内部滚动的小圆半径。星形线的弧长是6R，面积是3πR2/8，有趣的是，虽然产生星形线的方式跟圆脱不了关系，但是，星形线周长6R却跟圆周率π一点关系也没有。
数学家丹尼尔·伯努利在1725年发现，如果在固定的大圆内部滚动一个直径只有大圆本身3/4的小圆时，同样也可以画出星形线；换句话说，画出来的图形就跟滚动另一个更小、直径只有固定大圆1/4的小圆一样。
物理学上的斯通纳—沃法尔斯星形线被用来描述能量与磁学的诸多特征；美国专利编号第4 987 984号叙述星形线在机械滚动离合器上的运用方式：“星形线分散压力的效果跟相对应的圆弧曲线一样好，可是却可以减少凸轮材料的使用，提供更坚强的结构。”
值得注意的是，星形线所有延伸出去到与x轴或y轴相交的切线，其长度通通一样；你可以在脑海中想象用各种角度把梯子靠在墙壁上的画面，这也是一种画出部分星形线的方法。
来源：mistlike一点号