摘要：物化思想及其解题应用在本人2020年的简书文章中做过介绍，见图1。文章链接：https://www.jianshu.com/p/962ab1092747 。

本文是物化思想的解题应用。

图1

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在本人简书文章中曾讲述过：物化思想就是在赋义思想与面向对象思想眼光驱动下,对缺乏丰富数学语义的数学存在，进行对象化赋义，从而让它变得语义丰富，脱虚向实。

例如数字5可能缺乏意义，在代数题中，可找到5依附或对应的数学对象，对它赋予代数意义，例如让5依附于代数对象a，它是a的某个属性,例如赋予5为a的次数或系数等数学意义，或者说把5看成a的次数或系数，把5看成某个数学对象或某个数学对象的某个属性。

在几何题中，用赋义的眼光，可把无几何意义的数字5看成某条线段(数学对象)的长度，也就是赋予5以几何意义，让存在感不强(虚)的5物化(对象化，实体化)，也就是对应一条实实在在的存在(线段)，脱虚向实。

上面只是举例，物化出的对象可以是各种各样的数学对象，例如不等式、数列、圆、向量、向量数量积等等，不一定只是线段或代数式a。

在应用物化思想时，所涉及的相关数学对象通常是不存在的或隐形的，需要把该对象构造/创造出来或化隐为显凸显揭示出来。例如数字5对应的线段对象还不存在，需要构造出此线段。

面向对象思想是计算机软件设计与开发的核心思想，学科思想之间应该是相互借鉴，相互启发，相互融合，所以面向对象思想用在数学中不奇怪。

物化思想也是计算机软件中的思想之一，例如数据库中的物化视图。

为何我们很难培养出大师？一个原因是我们培养的人才，其多学科综合素质一般，搞数学的大多不熟悉其他一些学科的核心思想，那他的思想当然就容易受限，不通透，也就难以成为合格的伟大的思想家，而大师通常都是所在领域的大思想家。

这里再举两例物化思想在几何解题中的应用。

第一题

题目如图2。

图2

如何用几何法解此题？

几何解法的探索过程

看到题目中的4AD方=3BD方-CD方，能触发些什么念头？能联想到什么？

触发的念头至少有：

第一，这个式子无几何意义，所以如果用几何法就不好利用这个式子。

第二，激发变形意识：变为(2AD）方=(根3BD)方-CD方。这个式子类似勾股定理。但这个式子中的2AD、根3BD在图中无对应的几何对象。故要用物化思想创造出它们对应的几何对象，也就是要赋予它们以几何意义。

第三，物化手段，也就是如何实现物化？由根3BD中的系数根3与图中AC/AB根3，容易联想到手拉手旋转。从而进一步触发产生如下念头：将DAB绕A逆时针旋转90度后，再以A为中心放大根3倍，得到EAC。如图3。

图3

也就是EAC相似DAB,相似比为根3。EC=根3BD,EA=根3AD，ED=2AD。EAD为有60度(角EDA为60度)的直角三角形。

故由条件可知：ED方=EC方-CD方，EDC为直角三角形。角ADC=90–60=30度。又AC=根3，故D点轨迹可知，到此此题结果易求。

可见通过手拉手旋转相似实现了物化：图3中的EC、ED就是根3BD、2AD的物化对象。这些数学对象在图2中是不存在的，而在图3中把它们创造出来了，这也让缺乏几何意义，语义不丰富的的式子4AD方=3BD方-CD方，变成语义丰富的式子：ED方=EC方-CD方，它显然符合勾股定理的语义，也就是物化为勾股模式。

第二题

题目见图4。

图4

本人的一种几何解法如下。

图5

见图5。倍长EB到G(EB=BG)。

易知ED平行GC，

故CD/DA=GE/EA=2EB/EA。

由梅劳定理：

CD/DA*AB/EB*EF/FC=1,

2EB/EA*AB/EB*EF/FC=1,

EF/FC=EA/2AB。

在C点下方作垂线CQ垂直BC，且CQ=2AB。

EA平行CQ。EF/FC=EA/2AB=EA/CQ,故AEF相似QCF,故角EFA=角CFQ,故A、F、Q三点共线，即F在定直线AQ上，过B作AQ垂线，此垂线长度根10/10即为BF最小值。

解法解读：

上面的关系式EF/FC=EA/2AB，它是语义贫乏的，没多少几何意义。2AB也没有几何意义，没有几何对象(几何存在)。

我们物化构造出几何对象CQ,它是2AB的几何对象。这也让缺乏几何意义(缺乏数学语义)的EF/FC=EA/2AB变为有几何意义的EF/FC=EA/CQ，因为它的意义(语义)是相似形或平行线成比例定理模式。

解题后的反思

物化思想在几何解题中当然也体现了数形结合思想，或有数形结合的意蕴。

如果不知道物化思想、面向对象思想、赋义思想，但学习了上面的几何解法或自己探索出类似的几何解法之后，要尝试从解法中提炼、升华、领悟出这些思想方法或者说高观点、思想本质。

要有从形而下到形而上的意识，善于从形而下中悟出形而上，洞见形而上，领悟玄妙。从实到虚，从有到无/从有形到无形/从有欲到无欲，从物质/存在到意识/思想，从具体到抽象，从实践到理论。反过来，当然也要做相反的循环往复的辩证运动，从形而上到形而下，从虚到实，从无到有。

形而上者谓之道，形而下者谓之器。这样的辩证运动就是悟道，不断地悟，不断地顿悟与渐悟，不断地磨炼提高自己的悟性，提高思想层次，丰富、完善自己的数学思想方法和思维方法论体系，升华数学的精神世界。

常无欲，以观其妙，常有欲，以观其徼。要经常地、习惯性地静下心来观其妙，揣摩回味，领悟事物中蕴含的玄妙。对数学来讲，最玄妙的就是数学思维与思想，这是数学智慧的核心。

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《道德经》第一章

道可道，

非常道；

名可名，

非常名。

无名，

天地之始，

有名，

万物之母。

故常无欲，

以观其妙，

常有欲，

以观其徼。

此两者，

同出而异名，

同谓之玄，

玄之又玄，

众妙之门。

来源：幽默的胖小子