摘要：证明既是一种方法，也是一种验证原则。作为一种验证原则，我们从中学的第一节数学课中学到：“在数学中，任何陈述都必须证明。”论证原则存在于数学之外，如科学、哲学和人与人之间的理性交流。在这些领域，包括数学中，常用的论证方法都是逻辑方法。

证明既是一种方法，也是一种验证原则。作为一种验证原则，我们从中学的第一节数学课中学到：“在数学中，任何陈述都必须证明。”论证原则存在于数学之外，如科学、哲学和人与人之间的理性交流。在这些领域，包括数学中，常用的论证方法都是逻辑方法。

#深度好文奖励计划#然而，非数学领域还结合了其他方法与逻辑方法一起使用，例如感知观察、经验归纳、实验验证、自然法则、统计推断等。数学不能接受这些方法，也无法使用这些方法，因为每种方法只适用于某些类型的概念，而数学概念具有特殊的性质，与科学和经验概念不同。

证明方法充分利用了公理化方法所基于的逻辑（包括反证法原则），但不仅仅是逻辑。证明并不总是仅由直接将假设与结论联系起来的逻辑推导链组成；它还可以使用其他合理且认知上正当的过程，例如额外的概念构建、概念等价的识别（可能在不同子领域或理论之间）、辅助构建、符号操作、扩展、特殊化和数学归纳法。所有这些“方法中的方法”允许我们通过证明来展现我们的分析创造力；它们带来了“解谜的肾上腺素”，为数学的程序美感做出了贡献。

关于前两种“方法中的方法”，证明的努力往往促成了新概念的产生，这些概念成为新数学理论的基础，或者促成了不同理论的联系。在数学史上，解决著名猜想往往促成了这种进展。例如，费马大定理（1637年提出）声明不存在正整数 a、b 和 c 使得 a^n + b^n = c^n（当 n > 2 时），这一问题等待了358年才得到解决！最终于1995年由安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）完全证明；在寻找解决方案的过程中，发现了椭圆曲线与模形式之间的联系——这是两个不同的数学领域。这个问题及其解决方案后来促进了代数数论的发展，并证明了模形式定理。

关于数学归纳法，数学家和哲学家之间存在关于其作为证明原则有效性的争议。特别是直觉主义者反对归纳法（以及反证法），他们认为在数学中只能存在那些可以直接或间接从一组公理中构建的命题，并且对于任何命题，只有构造性证明才能确定其有效性。此外，还有哲学上的争论，例如归纳法并不为结论的解释价值做出贡献。数学家和哲学家之间也对归纳法所假定的潜在无限性是否可以接受存在争议。

这一方法被广泛用作解决技术，包括一些重要定理的解决方法，但在某些概念或程序性问题处理不当时，也可能成为错误和悖论的来源。最简单的例子是由数学家波利亚（Pólya）发现的所谓“马悖论”，实际上是一种诡辩：

“所有马的颜色都是相同的。”考虑一个包含 n 匹马的集合，我们拟证明对任意 n，n 匹马的颜色都是相同的。归纳法的“证明”包括验证 n = 1 时的假设。显然，作为单独的一匹马，陈述“集合中的所有马颜色相同”是显然成立的。在归纳步骤中，我们假设该性质对 n 成立（“在一个包含 n 匹马的集合中，所有马的颜色都相同”），并考虑通过向初始集合中添加一匹新马而获得的 n+1 匹马的集合。

如果我们将 A = {c₁, c₂, …, cₙ} 作为第一个集合（包含 n 个元素），将 cₙ+1 作为新添加的马，B = {c₁, c₂, …, cₙ+1} 和 C = {c₂, c₃, …, cₙ}，则根据归纳假设，集合 A 中的所有马颜色相同，集合 B 中的所有马颜色也相同（因为 B 包含 n 个元素）。然而，集合 C 包含于 A 和 B 中，因此 A、B 和 C 中的所有元素颜色相同，即 n+1 匹马的颜色。因此，在集合 {c₁, c₂, …, cₙ+1} 中，所有马的颜色相同。根据归纳法，初始陈述对任意 n 都成立，包括现存的所有马匹数。

错误在哪里？错误既是概念性的，也是程序性的，涉及验证步骤：集合 C 的元素数比集合 B 少 2，而集合 B 具有 n+1 个元素。因此，如果 n = 1，我们在集合 C 中会遇到一个矛盾（它将有 -1 个元素），这一点在归纳步骤中起到了决定性作用。结论是，归纳假设应适用于 n ≥ 2，而非 n ≥ 1。因此，验证步骤应包括 n = 2。然而，在这种情况下（A = {c₁, c₂}），我们无法再假定如果在 {c₁} 中所有马的颜色相同，那么在 A 中它们的颜色也相同，因为 {c₁} ∩ {c₂} 是空集。因此，假设无法对 n = 2 进行验证，因此验证步骤不成立。

来源：老胡说科学