摘要：如图1，⊙O是△ABC外接圆，D为弧BC上一点，若AD经过△ABC的内心I，且∠，则的值为 ▲ ．

九年级期中试题第18题深度解析：特殊案例启发下的图形构造与列式计算

如图1，⊙O是△ABC外接圆，D为弧BC上一点，若AD经过△ABC的内心I，且∠，则的值为 ▲ ．

图1

解法一：特殊位置法

∵D为弧BC上一点（任意一点），求的比值

∴比值与位置无关，那么即可用特殊位置法去求得结果，特殊位置中相对比较容易求解的是D点在弧BC的中点处。如图2

图2

设半径为r，则AB=AC=r

∴==

解法二：构造全等法

如图3，延长AB到点G，使得BG=AC，连接DC、DB、DG，易证三角形ADC≌三角形GDB（SAS）。

∴AD=GD

可由∠且I为内心，得∠BAD=30°

∴三角形ADG为顶角为120°得等腰三角形

∴=

图3

解法三：构造全等法

如图4，解题过程类似解法二，，延长AC到点E，使得CE=AB，连接DC、DB、DE，易证三角形ADC≌三角形GDB（SAS）。

∴AD=ED

可由∠且I为内心，得∠CAD=30°

∴=

图 4

解法四：构造全等法

如图5，过D点分别作AB、AC的垂线段DE、DF，垂足分别为E、F两点

易证△DBE≌△DCF（SAS）

∴AB+AC=AE+AF

∴AE=AF=

∴∴=

图5

解法五：通解通法-三角函数法（用到高中的三角函数公式）

如图6，构造直径AE，连接EB、EC、ED，得三个直角三角形ABE、ADE、ACE

∵AB=AE*COSα

AC=AE*COS(60-α)

∴AB+AC=AE*2sin60*cos(30-α)

∵AD=AE*cos(30-α)

图6

来源：初中数学课外提升