数独策略：矩形消去法（Rectangle Elimination）

摘要：矩形消去法（Rectangle Elimination）是一种数独解题技巧或策略，通过分析候选数之间的强链和弱链关系，利用三个格子和一个宫构成的矩形，消除一个格子中的候选数。

矩形消去法（Rectangle Elimination）是一种数独解题技巧或策略，通过分析候选数之间的强链和弱链关系，利用三个格子和一个宫构成的矩形，消除一个格子中的候选数。

我把数独策略分为三种类型：

瞪眼可得的。比如最后一数法，宫排除法。纸笔可得的。比如唯一矩形法（Unique Rectangle），如果用笔标出候选数，比较容易发现，但如果不用笔标出候选数，很可能只能干瞪眼。电脑可得的。比如十多个节点的链或环，即使标出候选数，也是很难发现的，如果再加上链的节点可能是组或ALS（差一数组），那非计算机不能完成也。

当然，因为人与人的逻辑推理能力是有差异的，这三种分类之间可能也存在重叠。比如，唯余法，有的人要用笔标出候选数才找得到，但另一些人高智商的，不标候选数也一眼就看得出来。

对于我这样的笨人，矩形消去法，应该属于纸笔可得的一类。标出候选数后，是比较容易找到矩形消去法的。在我的使用中，这个策略出现的概率非常高，很多需要使用环或链的策略，都可以用矩形消去法替代。在今日头条中，我也多次向朋友们推荐这个策略。因此，今天特意写篇文章来介绍这个策略。

这个策略当然不是我发明的，但本文的例子，是用我自己写的程序找的，本文的文字，也都是我写的。这篇文章，在一定程度上，应该算是我的原创吧。

我们先来看一个例子。

在这个题目中，R9C2和R9C6的候选数1，是一个强链关系。我们这里讨论的强链关系，就是一个行、列或者宫中，一个候选数只在两个格子中出现。这样，如果一个格子不取值1，另一个格子就必须取1。

而R9C2和R1C2的候选数1，是一个弱链关系。我们这里讨论的弱链关系，就是一个行、列或者宫中，几个格子有相同的候选数。这样，如果一个格子取值为1，那么其他格子取值就不能为1。

现在我们开始以下步骤来推理。

首先，我们假设R1C2取值为1。因为弱链关系，R9C2的值不能是1。因为R9C2和R9C6的强链关系，R9C6的取值必须是1。我们再来观察第二宫。因为R1C2和R9C6的值取1，所以第二宫中的R1C4、R1C6和R3C6三个格子的值都不能取1。偏偏第二宫中只有这三个格子的值取1，这样一来，第二宫的所以格子都不能取1了。但是，数独有一个天条：每宫必须有一个格子取值为1。现在第二宫违反了这一天条，因此我们推出了一个错误的结论。如果推理过程没有错误，那么错误应该是我们的假设造成的。即我们假设R1C2取值为1是不正确的，换句话说，R1C2取值不能为1。因此，我们可以消去R1C2的候选数1。

我们可以看到，R9C6、R9C2和R1C2三个格子，与第二宫构成了一个矩形。因此，这个方法称为矩形消去法。

一般来说，我们可以采用以下步骤来使用矩形消去法：：

找到两个格子A和B，要求它们之间对于某个候选数x存在强链关系。这两个格子A和B构成矩形的底边。找到另一个格子C，它与格子B在同一条垂直线上，并且也有候选数x。此时，B和C之间对于候选数x形成弱链关系。这样，A、B、C构成了矩形的三个顶点。通过A点做AB的垂线，通过C点做BC的垂线，交点就是矩形的第四个顶点D。确认：如果A和C取值x，那么D所在的宫中，没有格子可以取x。这时，我们就可以删除C的候选数x。

这是一个强链的两个格子是在同一列中的例子。

在第七列，R3C7和R6C7的候选数8，是一个强链关系。在第六行，R6C6和R6C7的候选数8，是一个弱链关系。如果R6C6和R3C7取值为8，那么，第二宫中的仅有的R2C6、R3C5和R3C6的候选数8，都是不可能的。

据此，我们可以消去R6C6中的候选数8。

从这个例子我们还可以看到，矩形消去法中的矩形，似乎并不那么四四方方。实际上，大多数矩形消去法的矩形，在宫的一角，形状都是有些不规整的。

我们用矩形消去法的眼光和链的眼光分别来看同一个例子。

以矩形消去法的观点来看，这个例子中，R2C2和R2C9的候选数2，是一个强链关系。
R2C2和R9C2的候选数2，是一个弱链关系。而且第九宫的候选数2都被消除。
因此，我们可以消去R9C2的候选数2。

以短链的观点来看，对于候选数2，

R2C2到R2C9是强链关系；R2C9到R7C9是弱链关系。R7C9到R9C8又是强链关系。

即存在一条短链：

R2C2[2]=R2C9[2]-R7C9[2]=R9C7[2]

我们在把这条链再画一遍。

很明显，这完全符合我们的一个短链策略多宝鱼（Turbot Fish）的模式。因为R2C2和R9C8中，至少有一个候选数必须是2，而R2C2和R9C8又都能看到R9C2，因此，我们可以消去R9C2的候选数2。这就是多宝鱼策略。

但是，有些例子，用链的观点分析，会比较复杂。我们再看一个例子。

用矩形消去法的视角，还是一样的方法。R5C4和R7C4的候选数3，是一个强链关系。
R5C4和R5C8的候选数3，是一个弱链关系。而且第九宫的所有四个候选数3都被消除。
因此，我们可以消去R5C8的候选数3。

但如果用链的观点来看，我们就需要用到一个很高级的策略，带组的交替推理链（
Alternating Inference Chains with Groups, AIC with Groups）。链的关系为：

R5C4[3]=R7C4[3]-R7C7[3]=R789C8[3]

对于候选数3，R5C4到R7C4是强链关系。R7C4到R7C7是弱链关系。R7C7到R789C8又是强链关系。R7C7取3，则R789C8三格都不能取3；R789C8三格中有一个取3，则R7C7不能取3。R7C4和R789C8至少有一个格子取3，而它们又都能影响R5C8，因此可以删除R5C8的候选数3。