摘要：题目：如图1，圆O为△ABC的内切圆，AC、AB、BC边上的切点分别为M、N、D，MN与DO的延长线相交于点E，连接AE并延长交BC于点F。求证：BF=CF。

题目：如图1，圆O为△ABC的内切圆，AC、AB、BC边上的切点分别为M、N、D，MN与DO的延长线相交于点E，连接AE并延长交BC于点F。求证：BF=CF。

解题思路（1）:欲证F为BC的中点，过点E作平行于BC的直线分别交AB、AC于G、H（图2），如果能证明E为线段GH的中点，则易证F为BC的中点。

连接OM、ON，则OM⊥AC、ON⊥AB、OD⊥BC，

OM=ON，∠OMN=∠ONM=α。

因GH∥BC，OD⊥BC，故DO⊥GH。

易证E、N、G、O和E、H、M、O四点共圆，OG=OH。

根据三线合一性质，点E为GH的中点，EG=EH。

根据相似三角形性质有：

GE/BF=AE/AF=EH/FC，即GE/BF=EH/FC，已证EG=EH，

故BF=FC成立。

解题思路（2）:下面介绍的“用面积法证明线段相等”较为繁琐，但证明过程包含较多的知识点，具有一定的趣味性。

连接BO并延长交NM于H，连接CO并延长交NM于G（图3），再连接HC、GB、DG、DH则有如下结论：

1.BH⊥HC，BG⊥GC；

2.H、O、D、C、M和G、O、D、B、N五点共圆，详见前文“含三角形角平分线与内切圆两切点连线相交的基本图形的几何题”，根据割线定理，EG·EN=EO·ED=EH·EM，即EG·EN=EH·EM，EG/EH=EM/EN…………①。

3.DE平分∠GDH，详见前文“含三角形角平分线与内切圆切点连线相交的基本图形的结论的应用”，根据角平分线定理有DG/DH=GE/EH…………②。

4.△DGH∽△ABC:在圆内接四边形HDCM中，∠GHD=∠BCA；同理∠HGD=∠CBA，故△DGH∽△ABC成立，则AB/AC=DG/DH=GE/EH=EM/EN，

即AB/AC=EM/EN，（AB/AC）·（EN/EM）=1…………③。

有了上述结论基础后，下面介绍用面积法证明线段BF=FC。

在△ABF中，根据共角定理有（共角定理及应用举例）：

S△ANE/S△ABF=（AN·AE）/（AB·AF）…………①；

同理，S△AME/S△ACF=（AM·AE）/（AC·AF）………②。

根据切线性质有AM=AN，用①÷②得：

S△ABF/S△ACF=（AB/AC）·（S△ANE/S△AME）。

因S△ANE/S△AME=NE/EM，故

S△ABF/S△ACF=（AB/AC）·（NE/EM）=1。

S△ABF/S△ACF=BF/FC=1。

BF=FC得证。

来源：重点敲黑板