摘要：高考数学压轴题通常围绕**函数与导数、解析几何、数列与不等式、概率统计**等核心模块展开，结合近年命题趋势（如新课标对数学建模、跨学科应用能力的重视），以下是DeepSeek为2025年高考数学压轴题的预测方向及示例题目，并附详细解析思路。

高考数学压轴题通常围绕**函数与导数、解析几何、数列与不等式、概率统计**等核心模块展开，结合近年命题趋势（如新课标对数学建模、跨学科应用能力的重视），以下是DeepSeek为2025年高考数学压轴题的预测方向及示例题目，并附详细解析思路。

**预测方向一：函数与导数综合应用**

**题目示例**：

已知函数 \( f(x) = e^x \sin x + a x^2 \)（\( a \) 为常数），研究以下问题：

1. 若 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处有极值，求 \( a \) 的值；

2. 讨论函数 \( f(x) \) 的零点个数与参数 \( a \) 的关系；

3. 若存在实数 \( m \)，使得 \( f(x) \geq m \) 对任意 \( x \in [0, +\infty) \) 成立，求 \( m \) 的最大值。

**命题意图**：

综合考察导数的几何意义、极值判定、零点存在性定理、函数最值分析，以及分类讨论能力。

**解析思路**：

1. **极值条件**：

- 求导 \( f'(x) = e^x (\sin x + \cos x) + 2a x \)；

- 由 \( f'(0) = 0 \) 得 \( e^0 (\sin 0 + \cos 0) + 0 = 1 \Rightarrow 1 = 0 \)，矛盾。

- **关键点**：题目设计可能存在陷阱，需重新审题或修正条件（例如题目可能隐含 \( a \) 的特殊取值）。

2. **零点个数分析**：

- 分离参数 \( a \)，转化为方程 \( e^x \sin x = -a x^2 \) 的图形交点问题；

- 分析 \( x \geq 0 \) 时左右函数的趋势，结合导数判断单调性。

3. **最值问题**：

- 利用 \( f(x) \geq m \) 的恒成立条件，转化为求 \( f(x) \) 在 \( [0, +\infty) \) 的最小值；

- 通过二阶导数或分段讨论确定下界。

**预测方向二：解析几何与动态最值**

**题目示例**：

设椭圆 \( C: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1 \)，点 \( P \) 为椭圆上任意一点，直线 \( l \) 过点 \( Q(1,0) \) 并与椭圆交于另一点 \( R \)。

1. 求 \( \triangle PQR \) 面积的最大值；

2. 若点 \( P \) 在椭圆上运动，探究是否存在直线 \( l \)，使得 \( QR \) 为某定值，并说明理由。

**命题意图**：

结合椭圆几何性质、参数方程、最值优化（拉格朗日乘数法或几何转化），以及存在性问题的逻辑推理。

**解析思路**：

1. **面积最值**：

- 参数化点 \( P(2\cos\theta, \sin\theta) \)，设直线 \( l \) 的斜率为 \( k \)，联立椭圆方程求交点 \( R \)；

- 面积公式 \( S = \frac{1}{2} |PQ \times PR| \)，转化为关于 \( \theta \) 和 \( k \) 的函数，求极值。

2. **存在性问题**：

- 假设存在定长 \( QR = d \)，利用椭圆弦长公式建立方程，分析方程解的可行性；

- 或通过对称性构造特例（如水平/垂直直线），验证是否存在符合条件的 \( d \)。

**预测方向三：数列与不等式证明**

**题目示例**：

已知数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n} \)（\( n \geq 1 \)）。

1. 证明：\( a_n \geq \sqrt{2n} \) 对任意正整数 \( n \) 成立；

2. 探究是否存在常数 \( C \)，使得 \( a_n \leq C \sqrt{n} \)，并给出证明。

**命题意图**：

考查递推数列的单调性、不等式放缩（数学归纳法或累加法）、极限思想，以及高阶数学思维的严密性。

**解析思路**：

1. **下界证明**：

- 数学归纳法：假设 \( a_k \geq \sqrt{2k} \)，推导 \( a_{k+1} = a_k + \frac{1}{a_k} \geq \sqrt{2k} + \frac{1}{\sqrt{2k}} \)；

- 利用不等式 \( \sqrt{2k} + \frac{1}{\sqrt{2k}} \geq \sqrt{2(k+1)} \)（需验证）。

2. **上界存在性**：

- 观察递推式 \( a_{n+1}^2 = a_n^2 + 2 + \frac{1}{a_n^2} \)，累加得 \( a_n^2 \geq 2n + 1 \)；

- 结合上下界，说明 \( C \) 的存在性（例如 \( C = \sqrt{3} \)）。

**备考建议**

1. **核心能力提升**：

- 熟练运用导数工具解决极值、零点、不等式问题；

- 掌握解析几何中的参数化、代数化方法；

- 强化数列递推与不等式证明的逻辑链条。

2. **真题与模拟题训练**：

- 精做近5年新课标卷、北京卷、浙江卷压轴题，总结命题规律；

- 对非常规题型（如跨学科应用、开放性设问）进行适应性练习。

3. **应试策略**：

- 压轴题通常分步设问，前两问相对基础，确保不丢分；

- 最后一问若难度过高，可优先完成其他题目，再回头尝试。

**注**：以上预测基于近年命题规律，实际题目可能结合新情境（如科技热点、传统文化）设计，建议考生注重知识本质，避免机械刷题。

来源：小可课堂