摘要：如图，直线\(a \parallel b\)，将含30°角的直角三角板按如图放置，若∠1=65°，则∠2的度数为
注意事项**
1. 本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟。
2. 答题前填写姓名、准考证号，答案用黑色签字笔规范填写在答题卡上。
3. 答卷时需合理分配时间，保持卷面整洁。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，绝对值最小的数是
A. \(-\sqrt{2}\) B. \(0\) C. \(\pi\) D. \(2^{-1}\)
2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱柱 D. 长方体
3. 据2024年统计，河南省粮食总产量为1352亿斤，数据“1352亿”用科学记数法表示为
A. \(1.352 \times 10^{11}\) B. \(13.52 \times 10^{10}\) C. \(1.352 \times 10^{3}\) D. \(0.1352 \times 10^{12}\)
4. 如图，直线\(a \parallel b\)，将含30°角的直角三角板按如图放置，若∠1=65°，则∠2的度数为
A. 25° B. 30° C. 35° D. 45°
5. 某校开展“垃圾分类”知识竞赛，八年级6名选手成绩（单位：分）如下：85, 90, 78, 92, 88, 85。关于这组数据，下列说法正确的是
A. 中位数是87 B. 众数是85 C. 平均数是86 D. 方差为20
6. 若关于\(x\)的一元二次方程\(x^2 - 2kx + k^2 - 1 = 0\)有两个实数根，则\(k\)的取值范围是
A. \(k > 1\) B. \(k \geq 1\) C. \(k
7. 如图，扇形\(AOB\)的圆心角为120°，半径\(OA=6\)，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为
A. \(2\sqrt{2}\) B. \(4\sqrt{2}\) C. \(3\sqrt{3}\) D. \(6\sqrt{3}\)
8. 二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)的图象如图所示，则一次函数\(y = bx - ac\)的图象大致是
（图像特征：开口向下，顶点在第二象限）
9. 如图，矩形\(ABCD\)中，\(AB=4\)，\(AD=3\)，点\(E\)从\(A\)出发沿边\(AB\)向\(B\)运动，速度为1单位/秒，同时点\(F\)从\(B\)出发沿边\(BC\)向\(C\)运动，速度为2单位/秒，当\(\triangle DEF\)为直角三角形时，运动时间为
A. \(1\)秒 B. \(1.5\)秒 C. \(2\)秒 D. \(2.5\)秒
10. 如图①，点\(P\)从\(\triangle ABC\)的顶点\(A\)出发，沿匀速运动到点\(C\)，图②是点\(P\)运动时线段\(BP\)的长度\(y\)随时间\(x\)变化的关系图象，其中\(Q\)为曲线部分的最低点，则\(\triangle ABC\)的面积为
A. \(12\) B. \(24\) C. \(36\) D. \(48\)
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二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 分解因式：\(3a^2 - 6ab + 3b^2 = \underline{\qquad}\)。
12. 不等式组\(\begin{cases} 2x - 1
13. 现有4张卡片，正面分别标有数字\(-2, 1, \sqrt{3}, \pi\)，背面完全相同，随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是________。
14. 如图，将矩形\(ABCD\)沿\(EF\)折叠，使点\(D\)落在边\(AB\)上的点\(M\)处，若\(∠AME=30°\)，\(AM=2\)，则折痕\(EF\)的长为________。
15. 在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC=5\)，\(BC=6\)，点\(D\)为边\(BC\)上一动点，将\(\triangle ABD\)沿\(AD\)折叠得到\(\triangle AED\)，当\(BE\)最小时，\(BD\)的长为________。
三、解答题（共75分）
16. （8分）先化简，再求值：\(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} \div \left(1 - \frac{x}{x + 2}\right)\)，其中\(x = \tan 60° - 2\)。
17. （9分）某校为加强学生体质，开展“每日跳绳”活动。随机抽取七年级50名学生，测试1分钟跳绳次数，绘制如下统计图表：
- **频数分布直方图**（组距20，各组频数分别为5, 12, 18, 10, 5）
- **扇形统计图**（对应百分比）
（1）补全频数分布表；
（2）求抽取学生跳绳次数的中位数所在组；
（3）该校七年级共800人，估计跳绳次数超过140次的人数。
18. （9分）如图，某数学兴趣小组测量古塔\(AB\)的高度，在\(C\)处用测角仪测得塔顶\(A\)的仰角为30°，向塔方向前进20米到\(D\)，测得仰角为45°，已知测角仪高\(CE=DF=1.5\)米，求古塔高度。（结果保留根号）
19. （9分）某超市购进A、B两种商品，已知购进3件A和4件B需170元，购进5件A和2件B需190元。
（1）求A、B的单价；
（2）若购买A、B共100件，总费用不超过3650元，求最多购买A商品的数量。
20. （9分）如图，\(AB\)为\(⊙O\)的直径，点\(C\)在\(⊙O\)上，\(AD\)平分\(∠BAC\)交\(⊙O\)于点\(D\)，过\(D\)作\(DE⊥AC\)交\(AC\)延长线于\(E\)。
（1）求证：\(DE\)是\(⊙O\)的切线；
（2）若\(AB=10\)，\(AE=6\)，求\(CE\)的长。
21. （10分）某公园喷泉的喷头出水路径呈抛物线形，距喷头水平距离\(x\)（米）与水流高度\(y\)（米）满足关系\(y = -\frac{1}{4}x^2 + bx + c\)。喷头位于地面，喷出的水流最高点距地面3米，且落地点距喷头6米。
（1）求抛物线的解析式；
（2）为安全考虑，在距喷头水平距离2米处设置护栏，求护栏高度。
22. （10分）【问题提出】如图1，在\(\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90°\)，\(AC=BC\)，点\(D\)在边\(AB\)上，探究\(CD\)、\(AD\)、\(BD\)的数量关系。
【初步思考】小明猜测\(CD^2 = AD \cdot BD\)，请判断其是否正确并证明；
【拓展探究】如图2，在菱形\(ABCD\)中，\(∠ABC=60°\)，点\(E\)在边\(BC\)上，直接写出\(AE\)、\(BE\)、\(CE\)满足的等式关系。
23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线\(y = x^2 + bx + c\)与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上一点，求\(\triangle PBC\)面积的最大值；
（3）点M为抛物线上一点，若∠MCB=2∠ABC，求点M的坐标。
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**命题说明**：
1. 本卷严格遵循《义务教育数学课程标准》，结合2024年河南中考试题结构，注重基础性与创新性结合。
2. 试题突出数学核心素养，设置实际情境问题（如古塔测量、喷泉抛物线）、几何探究题等，体现学科育人价值。
3. 压轴题设计梯度分明，兼顾选拔功能与教学导向。
来源：物理与数学