摘要：2025年2月24日，纽约大学科朗数学科学研究所助理教授王虹与不列颠哥伦比亚大学助理教授约书亚·扎尔 （Joshua Zahl）在预印本网站（arXiv）上，提交了一篇题为《凸集的并集的体积估计和三维挂谷集猜想》（Volume estimates for un

2025年2月24日，纽约大学科朗数学科学研究所助理教授王虹与不列颠哥伦比亚大学助理教授约书亚·扎尔 （Joshua Zahl）在预印本网站（arXiv）上，提交了一篇题为《凸集的并集的体积估计和三维挂谷集猜想》（Volume estimates for unions of convex sets, and the Kakeya set conjecture in three dimensions）的论文。在这篇127页的论文中，王虹和扎尔给出了三维挂谷集猜想的一个证明。

稍后，陶哲轩在自己的博客上对这篇论文做了解读，并将其评价为“几何测度论领域的惊人进展”。

挂谷问题与挂谷集猜想

挂谷集猜想，是一个距今已经超过一百年历史的数学猜想。

在1917年，日本数学家挂谷宗一提出了一个日后被称为“挂谷问题”的数学问题。这一问题有一个形象的生活化版本，被称为“武士如厕”问题：“一位武士在上厕所时遭到敌人袭击。一时之间矢石如雨，而他只有一根短棒用来防身。为了挡住射向他的箭矢，武士需要挥舞短棒旋转一周。但武士所处的厕所很小，所以应当使短棒扫过的面积尽可能小。那么，这根短棒扫过的面积最小可以小到多少？”

这一问题的严格数学描述则是这样的：“平面上是否存在一个面积最小的区域D，使得一个长度为1的单位线段可以在D内旋转360°？”这样的区域D，就被称为挂谷集（Kakeya set）。而所谓的挂谷问题，就是在问，所有平面上的挂谷集的面积最小可以是多少。

显然，这根线段按照不同的方式选择，所扫过的挂谷集的面积是不同的。例如，如果线段绕着某一个端点旋转一周，其扫过的区域为一个半径为1的圆盘，面积为π。而如果线段绕着中点旋转一周，其扫过的区域为一个半径为1/2的圆盘，面积为π/4。

挂谷宗一本人认为，面积最小的平面挂谷集为一个刚好可以容纳单位线段的三尖瓣线围成的区域。此时，这个平面挂谷集的面积为π/8。

在1920年，前苏联数学家阿布拉姆·贝西科维奇（Abram Besicovitch）在研究黎曼积分的时候，给出了一个被称作贝西科维奇集的平面区域。这个贝西科维奇集，包含了指向所有方向的单位线段。同时，它也是一个勒贝格零测集。

在数学中，测度是一种将几何空间的度量（长度、面积、体积）广义化后产生的概念。所谓勒贝格测度，是法国数学家昂利·勒贝格（Henri Lebesgue）提出的一种测度。在通常的情况下，勒贝格测度等同于普通的长度、面积、体积等等。但是对于很多无法以普通的方式定义“体积”的空间区域，勒贝格测度也可以给出其测度值。而所谓的勒贝格零测集，就是勒贝格测度为零的集合。也就是说，勒贝格零测集的“体积”为零。

作为勒贝格零测集的贝西科维奇集，其“面积”也就为零。使用一些数学技巧，就可以使得长度为1的线段在贝西科维奇集上，以尽可能小的扫过面积连续移动。这样就可以构造出一个平面挂谷集，并且这个平面挂谷集的面积可以无限趋近于零。

就这样，贝西科维奇的研究给出了挂谷问题的一个出人意料的解答：平面挂谷集的面积，可以无限趋近于零。也就是说，在平面上存在一个面积非常非常小的区域D，使得长度为1的线段，可以在区域D内旋转360°。正因为此，贝西科维奇集也被称为挂谷集。

挂谷集的一个例子，左侧为绕单位线段中心旋转的圆，面积为π/4，右侧为刚好可以容纳单位线段的三尖瓣线，面积为π/8。（资料图）

自贝西科维奇的工作起，挂谷集这一平面几何中的问题，就和分析学联系到了一起。挂谷集也开始被数学家们用于构造分析学中的反例。除此之外，数学家们也逐渐发现，挂谷集与诸如偏微分方程、数论、组合等数学分支中的某些问题有着深刻的联系。例如，有很多数学家都认为，调和分析中的两大核心问题：限制问题（The restriction problem）和博纳赫-里斯猜想（Bochner-Riesz conjecture）都与挂谷集最小能够多小有直接的关系。

这些相关问题的研究，使得数学家们在不断深化关于挂谷问题的探索。

对于挂谷问题，一个很自然的推广就是将挂谷集从平面推广到更高维度的空间。即：一个长度为1的线段可以在n维欧式空间中的一个区域D内运动，并且线段的两个端点，要遍历空间中的每一个方向。这样的n维空间中的区域D，就被称作n维挂谷集。

由此，数学家们提出了挂谷集猜想：“n维挂谷集的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数等于n。”

体积与维数

在挂谷集猜想的描述中，有两个很重要的概念，豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数。

维数是一个很常见的数学概念。日常生活中遇到的维数一般都是正整数。例如，直线是一维的，平面是二维的，而我们所生活的这个空间是三维的。这种维数被称为拓扑维数。

每个维数的空间里，都有各自的“体积”。在一维时体积是曲段的长度，二维时体积是平面区域的面积，三维时则是几何体的体积。

而在不同维度空间之间，则有着不可逾越的鸿沟。一维的直线段是只有长度而没有宽度的，再多的长度为1的单位线段，也填不满一个单位正方形的内部。同样的，二维的平面区域是没有厚度的，再多的单位正方形也填不满一个单位立方体的体积。

这一切看上去都等级分明，井然有序。

但是，在1890年和1891年，意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）和德国数学家大卫·希尔伯特先后构造出了皮亚诺曲线和希尔伯特曲线。这两条本来应该是一维的曲线，却有着一个神奇的特性：它们都能够填满一个单位正方形的内部。也就是说，皮亚诺曲线和希尔伯特曲线，这两个本来应该是一维的曲线，却有着二维的面积。

在单位正方形内生成希尔伯特曲线的前六步，第n步的希尔伯特曲线的长度是2ⁿ-2⁻ⁿ。（资料图）

随后，在1915年和1916年，波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基（Wac?aw Sierpiński）用不断挖孔的方式，构造出了谢尔平斯基三角形和谢尔平斯基地毯。

谢尔平斯基三角形和谢尔平斯基地毯都是实实在在的平面图形，但是它们的勒贝格测度却都等于零。也就是说，谢尔平斯基三角形和谢尔平斯基地毯的“面积”都为零。

这些例子的给出，使得数学家们意识到以往对于维数的朴素认识，是有着巨大缺陷的。这就催生了包括豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数在内的多种维数的定义方式。

豪斯多夫维数由德国数学家费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）在1918年提出。

豪斯多夫维数的核心想法，是考虑体积随几何体缩放时的变化率。举个例子，当一个正方形的边长扩大一倍或者缩小一半时，正方形的面积或扩大或者缩小二的平方，即四倍或者四分之一。而当一个立方体的边长扩大一倍或者缩小一半时，立方体的体积或扩大或者缩小二的立方，即八倍或者八分之一。也就是说，维数，恰好就是体积缩放比例的指数。

豪斯多夫维数的定义，就体现了类似的缩放比例的想法。在数学上，测量一个几何体的体积，有一个直观的做法。那就是用很多半径为r的小球来覆盖这个几何体。接着让这些小球的半径趋近于零，并且计算小球的数量N(r)乘以单个小球的体积的极限就可以得出几何体的体积。

于是，豪斯多夫指出，当小球的半径r趋近于零时，N(r)的对数与r的对数的比值的极限值，就是这个几何体的体积的缩放比例。也就是所谓的豪斯多夫维数。

按照豪斯多夫维数的定义，皮亚诺曲线与希尔伯特曲线的豪斯多夫维数均为2。谢尔平斯基三角形的豪斯多夫维数为lg3/lg2≈1.5850。而谢尔平斯基地毯的豪斯多夫维数则为lg8/lg3≈1.8928。

闵可夫斯基维数，则由爱因斯坦的老师，德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）提出。与豪斯多夫维数中用小球覆盖几何体计算体积的方式不同，闵可夫斯基维数的几何体体积的计算方式是：将空间分成均匀的方格，通过计算包含几何体的方格的数量来计算几何体的体积。正因为此，闵可夫斯基维数也被叫做计盒维数。

豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数等概念的提出，大大加深了数学家们对于体积和维数的认识，并最终和普拉托问题（Plateau's problem，即研究在边界固定时极小曲面的存在性的问题）等数学问题一起，催生了几何测度论这一数学分支。

而挂谷集猜想，则是几何测度论中的一个核心问题。

1971年，英国数学家罗伊·戴维斯（Roy Davies）证明了，平面上的贝西科维奇集的豪斯道夫维数和闵可夫斯基维数都是2。从而解决了二维的挂谷集猜想。

三维挂谷集猜想

尽管二维挂谷集猜想得到了完美解决，但是当维数增加时，挂谷集猜想会变得异常困难。实际上，挂谷集猜想的难度已经达到了“出圈”的程度。2016年美国大选期间，陶哲轩在个人博客上公开表示，特朗普不适合做美国总统。作为对陶哲轩这一言论的回应，特朗普在个人社交媒体上声称：“陶哲轩是一个失败的分析学家，他连挂谷集猜想都证明不出来。”

哪怕是三维挂谷集猜想，数学家们也一直找不到解决方法。尽管陶哲轩以及法国数学家、1994年菲尔兹奖得主让·布尔甘（Jean Bourgain）等人都研究过挂谷集猜想，但是长期以来，对于三维挂谷集猜想，数学家们只得到了一些阶段性成果。

在1994年，美国数学家托马斯·沃尔夫（Thomas Wolff）证明了三维挂谷集的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数都不小于2.5。五年之后的1999年，内茨·卡茨（Nets Katz）、伊莎贝拉·拉巴（Izabella Laba）和陶哲轩将这一结果改进了一百亿分之一，即：0.0000000001。也就是说，卡茨、拉巴和陶哲轩证明了：三维挂谷集的闵可夫斯基维数不小于2.5000000001。这也是王虹和扎尔的论文之前，关于三维挂谷集猜想的最佳结果。

自2022年起，王虹和扎尔合作，在预印本网站上提交了三篇关于三维挂谷集猜想的论文。

在2022年10月的论文《粘性挂谷集和粘性挂谷集猜想》（Sticky Kakeya sets and the sticky Kakeya conjecture）中，王虹和扎尔针对一类特殊的挂谷集，即粘性挂谷集，证明了三维挂谷集猜想。

在2024年1月的论文《三维挂谷集的阿苏德维数》（The Assouad dimension of Kakeya sets in R^3）中，王虹和扎尔对一种稍弱一些的维度，即阿苏德维数，证明了三维挂谷集猜想。即三维挂谷集的阿苏德维数等于三。

最终，在2025年的这篇127页的论文当中，王虹和扎尔给出了三维挂谷集猜想的完整证明。

王虹和扎尔的这三篇加起来长达234页的“挂谷集猜想三部曲”，完整地展现了数学家们解决问题的常规流程。

其中，粘性挂谷集是1999年卡茨、拉巴和陶哲轩在论文中提出的一个概念。并且，粘性挂谷集这一概念，在陶哲轩他们的证明中起到了非常重要的作用。阿苏德维数则是由法国数学家帕特里斯·阿苏德（Patrice Assouad）于1977年，在他的博士论文中提出的一种维数。

王虹和扎尔的“挂谷集猜想三部曲”则是在充分理解并吸收前人工作的基础上，先提出一些加强条件来简化需要解决的问题。并在解决简化版问题的过程中，找到解决问题的核心思路和方法。接下来，对比原版问题和简化版问题，找出其中的技术性障碍和难点，发展出新的方法和技术，用以解决或者绕过这些障碍和难点，最终完全解决问题。

这也正是陶哲轩对王虹和扎尔的工作给出的评价：“（这篇论文）的论证过程中使用了很多之前文献中的思想，这其中也包括我（陶哲轩）和合作者的一些论文。但是所需的分析和迭代过程非常的复杂精巧，并且需要很多新的思路和想法才得以完成整个论证过程。”

南方周末特约撰稿 左力

责编 朱力远

来源：南方周末