套路刷题无可觅，慧眼识全等

摘要：全等三角形的概念在人教版数学八年级上册第12章，由全等形衍生而来，教材中给出的描述是“能够完全重合的两个三角形”，事实上我们对“全等”继续追溯，可以和“相等”关联起来，在小学阶段，我们学过用相等来表示数量关系，包括两个数字相等、两条线段长度相等、两个图形面积相

套路刷题无可觅，慧眼识全等

全等三角形的概念在人教版数学八年级上册第12章，由全等形衍生而来，教材中给出的描述是“能够完全重合的两个三角形”，事实上我们对“全等”继续追溯，可以和“相等”关联起来，在小学阶段，我们学过用相等来表示数量关系，包括两个数字相等、两条线段长度相等、两个图形面积相等……

然而描述图形之间的这种等量关系时，我们引入了全等，其实线段也同样可以用全等描述，长度相等的线段未必全等，区别就在于位置。

所以在学习全等三角形时，理解完全重合相对容易，然而面对不同位置下的两个全等三角形，再去观察能够重合，是非常考验学生的识图能力的，于是我们为了帮助学生识图，归纳了诸多全等三角形的模型，都是大家熟知的，例如倍长中线、一线三直(等)角、倍(半)角、手拉手等；模型本无错，活学方活用，在教学中若是把它套路化，靠死记图形去匹配题目，是一定学不好全等的。

有时，只要题目稍稍变化，套路刷题就现了原形。

题目

已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC的延长线上，点E在CB的延长线上，DC=BE，连接AE，过C作CF⊥AE于F，CF交AB于G，连接DG.

(1)求证：∠AEB=∠ACF；

(2)用等式表示CG，DG和AE的数量关系，并证明.

解析：

(1)由∠ACB=90°得∠ACF+∠BCF=90°，再由CF⊥AE得∠BCF+∠AEB=90°，所以根据“同角的余角相等”得∠AEB=∠ACF；

(2)通常情况下，通过观察发现这三条线段最长的是AE，先猜想另外两条较短线段之和等于它，基于这个猜想，我们再开始寻找验证方法；

我们先得将其中一条线段“搬”到最长线段AE上，而最佳搬运工非全等三角形莫属，图中的△ABC是等腰直角三角形，可以为我们提供一对相等的边和一对相等的45°角，这都是可以作为全等条件直接使用的，然后寻找CG和DG所在的三角形，是否存在以前面已提供的条件为边、角的呢？

我们看△BCG，包含CG边，并且以BC为边，它就是我们的“天选”全等三角形之一，其中CB的对应边可能是CA，所以我们把目光放在包含边AC的三角形上，并且还要能与△CBG完全重合，如下图：

在AE上截取AH=CG，因为前期验证已经找到了一个条件：CB=AC，利用第一小题的方法我们很快能找到第二个条件：∠BCG+∠ACF=90°，∠CAH+∠ACF=90°，则∠BCG=∠CAH；

现在可利用SAS证明△BCG≌△CAH，然后想办法将剩下的DG也“搬”过来，即寻找DG与EH的关系；在第一次全等之后，我们又新增了条件BG=CH，则第二对全等三角形呼之欲出，如下图：

由DC=BE得DB=EC，∠ACH=∠CBG=45°，所以HCE=45°=∠GBD，再次利用SAS证明△DBG≌△ECH，从而DG=EH，完成了最后的“搬运”；

综上，AE=DG+CG.

解题思考：

这道题给班上学生完成后，评价是两极分化的，部分学生认为太简单了，八年级小朋友就能够完成，拿给九年级是小看他们了，还有一部分则认为全等三角形太难找了，完全不是熟悉的模型，摸不着头脑；

虽然样本有限，但也大体代表了目前学生中存在的这两种典型情况，认为太简单的学生，的确通过自已的经验积累完成了对全等三角形任意位置的识别与构建，对他们而言，模型已经不重要了；而认为全等三角形难找的学生，就属于识图能力尚有欠缺，这些学生还有一个共同点，在教辅资料上学习相关模型时，非常顺利，因为某个版块标题就是某模型专题，那自然下面所有题目都会用这个模型，刷得不亦乐乎，于是认为自已懂了，于是“刷”到经验了，于是这道题上栽了；

我们将题目中的△CBG绕点C逆时针旋转90°，如下图：