摘要：正交变换是数学、线性代数和几何学中的一个核心概念，它在多个领域都有着广泛的应用。本文将详细介绍正交变换的定义、性质、种类以及在各个领域的具体应用。

正交变换是数学、线性代数和几何学中的一个核心概念，它在多个领域都有着广泛的应用。本文将详细介绍正交变换的定义、性质、种类以及在各个领域的具体应用。

一、正交变换的定义

正交变换（Orthogonal Transformation）是指一种线性变换，它使用正交矩阵表示，并满足以下两个关键特性：

保持长度不变：变换后的向量的长度与变换前相同。这一性质源于正交矩阵的定义，即正交矩阵的转置等于其逆矩阵，从而保证了向量的模（长度）在变换过程中不会发生变化。

保持角度不变：变换后的向量之间的角度与变换前相同。这一性质使得正交变换在几何变换中尤为重要，因为它能够保持空间中各点间的相对位置关系不变，包括夹角。

在有限维空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵。正交矩阵是指其转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵，即满足 AT=A−1，其中 I 是单位矩阵。正交矩阵的列向量（或行向量）都是单位向量，并且这些向量之间两两正交，即它们的内积为零。

二、正交变换的性质

正交变换具有一系列独特的性质，这些性质使得它在数学和工程应用中具有重要意义。

逆变换也是正交变换：正交变换的逆变换同样是一个正交变换，其矩阵表示是原正交矩阵的逆矩阵。

保持内积不变：正交变换保持向量的内积不变，即对于任意两个向量 α 和 β，有 (Aα,Aβ)=(α,β)。这一性质是保持长度和角度不变的基础。

保持正交性：正交变换不会改变向量间的正交性。如果两个向量在变换前是正交的，那么它们在变换后仍然是正交的。

矩阵乘积的正交性：如果 A 和 B 皆为正交矩阵，则它们的乘积 AB 亦为正交矩阵。

行列式的性质：正交矩阵的行列式只能是 +1 或 −1。行列式为 +1 的正交变换称为第一类正交变换（对应旋转变换），行列式为 −1 的正交变换称为第二类正交变换（对应瑕旋转变换）。

标准正交基的变换：正交变换将原始空间的标准正交基变为标准正交基。也就是说，标准线性变换之后仍然是标准的。

三、正交变换的种类

正交变换的种类非常丰富，常见的正交变换包括旋转变换和反射变换等。

旋转变换：旋转变换是指将向量旋转一个固定角度，方向改变，但长度保持不变。在二维空间中，旋转变换可以通过旋转矩阵来实现。例如，绕坐标原点逆时针旋转一个 θ 角的旋转矩阵为：

R(θ)=[cosθsinθ−sinθcosθ]

这个矩阵满足 R(θ)TR(θ)=I，即它的转置等于其逆矩阵，因此它是一个正交矩阵。

反射变换：反射变换是指将向量关于某个平面或直线进行反射。例如，在二维平面中，关于 y=x 轴的反射矩阵为：

R=[0110]

这个矩阵同样满足 RTR=I，因此它也是一个正交矩阵。

除了旋转变换和反射变换外，正交变换还包括缩放变换（在特定条件下，如各方向缩放比例相同且为1时）、投影变换（在某些特定情况下，如正交投影）等。然而，需要注意的是，并非所有的缩放变换和投影变换都是正交变换，只有当它们满足正交变换的定义和性质时，才能被称为正交变换。

四、正交变换的应用

正交变换在数学、几何学、图像处理、计算机图形学、信号处理、机器学习等多个领域都有着广泛的应用。

（一）图像处理

图像旋转：正交变换可以用来旋转图像，使其符合特定的角度。这在计算机视觉中非常重要，因为图像可能会因为摄像头的旋转或者图像的扭曲而产生不同的角度。通过正交变换，可以保持图像的几何属性不变，实现图像的准确旋转。

图像变形：正交变换可以用来变形图像，使其符合特定的形状。这在计算机视觉中同样非常重要，因为图像可能会因为各种因素而产生变形。通过正交变换，可以对图像进行精确的变形处理，同时保持图像的几何结构不变。

图像压缩：正交变换在图像压缩中也有着广泛的应用。例如，JPEG压缩算法中的离散余弦变换（DCT）就是一种正交变换方法。通过DCT变换，可以将图像数据从空间域转换到频域，从而去除图像数据中的冗余信息，实现高效的图像压缩。

（二）计算机图形学

物体变换：在计算机图形学中，正交变换常用于控制物体的位置、旋转和缩放等操作。通过正交变换，可以实现对三维场景中物体的精确控制，确保物体的形状不失真。

渲染和动画：正交变换在三维场景的渲染和动画效果实现中也发挥着重要作用。通过正交变换，可以对场景中的物体进行旋转、平移、缩放等操作，从而生成逼真的渲染效果和流畅的动画效果。

（三）信号处理

信号压缩：正交变换如离散傅里叶变换（DFT）和离散余弦变换（DCT）在信号处理中被广泛应用。这些变换利用正交矩阵的性质，将信号从时域转换到频域，从而进行信号的压缩、去噪和重构等操作。通过正交变换，可以去除信号中的冗余信息，提高信号的传输效率和存储效率。

信号滤波：正交变换还可以用于信号滤波。通过正交变换将信号转换到频域后，可以针对不同的频率成分进行滤波处理，去除噪声或不需要的频率成分，然后再通过逆变换将信号转换回时域。

（四）机器学习

特征提取和降维：正交变换在特征提取和降维等方面具有重要作用。例如，在主成分分析（PCA）中，通过正交变换将数据从原始坐标系映射到新的坐标系（主成分坐标系），这些新坐标轴（主成分）是正交的，即它们相互垂直。PCA的核心目标是找到一个正交变换，使得数据在新坐标系中的方差最大化，从而实现数据的降维和特征提取。

数据预处理：在支持向量机（SVM）等分类算法中，正交变换也被用于数据预处理和特征提取。通过正交变换，可以将数据转换到一个更有利于分类的特征空间中，提高分类的准确性和效率。

（五）其他领域

除了上述领域外，正交变换还在机器人学、物理学、工程学等多个领域有着广泛的应用。例如，在机器人学中，正交变换常用于表示物体的姿态或相机的姿态，并通过正交矩阵的变换实现机器人或相机在不同坐标系下的位置和方向的计算和更新。

来源：昊强教育