摘要：题目设置为过x轴上某一定点的直线与双曲线渐近线交于两点，条件中常有这条直线的斜率或以共线形式出现的向量数乘，这种有两种常规思考方向，一是利用在渐近线上的点代入渐近线方程，但前提不能是用该条渐近线求出的点坐标，否则就没意义了，二是考虑渐近线的倾斜角或斜率，但具体
这是高三近期复习时遇到的问题，若双曲线不是以焦点三角形，而是以渐近线为出题角度求解离心率的值该如何思考。
题目设置为过x轴上某一定点的直线与双曲线渐近线交于两点，条件中常有这条直线的斜率或以共线形式出现的向量数乘，这种有两种常规思考方向，一是利用在渐近线上的点代入渐近线方程，但前提不能是用该条渐近线求出的点坐标，否则就没意义了，二是考虑渐近线的倾斜角或斜率，但具体还得根据所给条件灵活选用。
条件中的直线很有特点，直线与x轴的交点恰好与点P对称，本题与双曲线本身无关，只考虑渐近线，最直接的做法是直线与两条渐近线联立求出A,B两点坐标后求其中点M，再利用MP的斜率已知即可求出e的值。选择本题是因为有学生直接暴力求出A,B两点的横纵坐标，但根据题目可知OQ=OM=OP,所以这P,Q,M三点均在以原点为圆心以m为半径的圆上，可将直线与圆联立求出点M的横坐标，另外直线与其中一条渐近线联立可求出A点横坐标，B点横坐标只需将A点横坐标中的a替换为-a即可，无需再求，这样做可简化很多非必要计算过程，再把A,B两点横坐标和M点横坐标等价即可。
整体代入是一种简化计算量的常用方法，圆锥曲线最忌讳暴力求解。
本题容易想到的方法是直线与渐近线联立求出A点坐标，再利用OA=OF1长度相等即可得到离心率的值，但这么做计算量明显偏大。本题已知直线的斜率，根据OA=OF1可知，三角形OAF1为等腰三角形，∠AOF2的角度为∠AF1O的2倍，利用已知直线的斜率可求出AO所在渐近线倾斜角的正切值，即可求出离心率。
本题若求A点坐标，无需通过直线与渐近线联立，和上题类似，A,F1,F2三点到O点距离相同，则三点均在以原点为圆心以c为半径的圆上，直线与圆联立更容易求解A点坐标，再根据AF1的斜率即可求出离心率的值。
本题中用到了一些结论，可知FM=b，另外可直接写出M点坐标，利用向量可求出N点坐标，将N点坐标代入双曲线方程中整理即可求出e的值，但这样仅限于理论，点M坐标很繁琐，点N更为繁琐，代入双曲线方程中较难处理。
本题存在焦点三角形，已知FM=b,则NF=3b，利用定义可表示出NF'，又因为直线NF的斜率可用a/b表示，因此可求出∠NFO的余弦值，在三角形NFF'中利用余弦定理可求离心率的值。
最后一个题是高二学生问到的一个题目：
题目很明显需要求M的轨迹，在圆中A为定点，BC为弦且AB⊥AC，并不能直接用几何法看出BC中点的轨迹是什么，这是用直接法，设出点M的坐标找到一个关于M坐标的等式即可，BC为弦很容易想到原点到M的连线与BC垂直，即满足OM²+BM²=OB²，其中点B也为定点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半将BM替换成MA即可。 来源：向上教育
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