摘要：定义了运算的集合称为代数系统。群是最简单的代数系统，因为它只定义了一种运算， 群一般 记为 (G, ◦)，也可以简写为 G。
定义了运算的集合称为代数系统。群是最简单的代数系统，因为它只定义了一种运算， 群一般 记为 (G, ◦)，也可以简写为 G。
通俗来说：
▶ 具有乘法（或加法）运算的集合，被称为群，
其中，加法运算 强制要求 具有交换律，而乘法则无此要求。
最自然的群 当属，
整数加法群 (ℤ, +) ，接着是，
正有理数乘法群 (ℚ⁺, ·)；这些来自 数字系统的群，是群概念形成之来源。
任意指定一个非零整数 m，则 m 的所有倍数 关于 加法构成一个群，记为，
mℤ = {..., -2m, -m, 0, m, 2m, ...}它显然 是 ℤ 的正规子群，故 有 商群，
ℤₘ = ℤ/mℤ = {0̅ , 1̅, ..., (m-1)̅ }，其中 x̅ = x + mℤ。
相比较 mℤ 显然比 ℤ 有更多的 人为痕迹，而实际上，我们可以进入一步 纯人为构造一个群：
▶ 设集合 S为 群生成元，P 为 群的构造规则，则 可以得到群 G =〈S|P〉，
例如，
G =〈a,b| ab = ba〉；为了更清晰的 看到 我们所构造的 群 可以，
▶ 以 G 的元素为顶点，以 幺元（或 零元）为 中心点，以 生成元 为有向边，链接这些顶点；
这样就得到了 一个 有向图，称为 Caley 图。
例如，
【注：1.有向边，可以 以 生成元标记，也可以 为每个生成元分配一种颜色，然后用颜色标记；
2.标记相同的 双向有向边 可以画成 无向边。】
另外， 规则 P 也可以为空，例如，
由一个元素生成的群，称为循环群，例如，
Cₙ = 〈a | aⁿ = 1〉或 〈a |na = 0〉显然，上面的 ℤₘ = 〈1̅ |m1̅ = 0̅ 〉是循环群。
对 平放在桌面上的 正n边形，我们可以进行如下两种 保证 正n边形 完全重合 的 操作，
绕正n边形中心旋转。例如，这两种操作的全体生成一个群，称为二面体群，记为 Dₙ。其中，
旋转操作共有 n 个，分别是逆时针旋转：θ, 2θ, ..., nθ （θ=2π/n）角度；翻转共有n个，当n是奇数是 分别对应 n个边的高，当n是偶数时分别对应 n/2 个 对角线 和 n/2 个对边高；故，Dₙ 共有 2n 个元素（所以，有些教程也将二面体群记为 D₂ₙ），即，|Dₙ| = 2n 。
不妨定义，
a 为 逆时针旋转 2π/n，例如 D₃，于是 对于 D₃ ， 其元素有，
旋转：a, aa, 1(=aaa)；翻转：b, ab, ba;因，
由 △ABC —ᵃ→ △CAB —ᵃ→ △BCA —ᵃ→ △ABC ，知 a³ = 1 ⇒ a⁻¹ = a²；由 △ABC —ᵇ→ △ACB —ᵇ→ △ABC，知 b² = 1 ⇒ b⁻¹ = b；于是 (ab)⁻¹ = b⁼¹a⁼¹ = ba²，而 △ABC —ᵃ→ △CAB —ᵇ→ △CBA，△ABC —ᵇ→ △ACB —ᵃ→ △BAC —ᵃ→ △CBA，故 ab = (ab)⁻¹ ⇒ (ab)²；故 D₃ 的生成元集为：
D₃ =〈a, b | a³ = b² = (ab)² = 1〉【 注：对于 ba（△ABC —ᵇ→ △ACB —ᵃ→ △BAC），有，
(ba)⁻¹ = a⁼¹b⁼¹ = a²b = a(ab) = a(ab)⁻¹ = a(b⁼¹a⁼¹) = a(ba²) = (ab)a² = (ba²)a² = ba
因此不需要，在定义里加规则：(ba)² = 1。】
这样，绘制成 Cayley 图 如下，
而 对于 D₄ 为例，其元素有，
旋转：a, a²(=aa), a³(=aaa), 1(=aaa)故，
D₄= 〈a, b | a⁴ = b² = (ab)² = 1〉，绘制成 Cayley 图 如下，
推而广之，对任意 Dₙ 有，
Dₙ = 〈a, b | aⁿ = b² = (ab)² = 1〉，【注：其中， (ab)² = 1 ⇔ bab⁻¹ = a⁻¹，这是显然的。】
绘制成 Cayley 图 如下，
任意集合 X 上的 全体 置换（即 X 上的单射） 在 映射的复合运算（即 (fg)(x)=f(g(x)）下 组成 一个群，称为 置换群。特别地，记 N = {1, 2, 3, ..., n}，称 N 上的置换群，为 n元对称群，记为 Sₙ ，它共有 n! 个元素（对应 n个数字的所有全排列）, 即，|Sₙ| = n! 。
一般来说，我们将 Sₙ 中的置换表示为，
为了方便，以下 我们 将 上面表示 简写为 。
记 Sₙ 中的元素为 σ: N → N，定义，
(i₁ i₂ ⋯ iₖ) : N → N
σ(i₁) = i₂, σ(i₂) = i₃, ..., σ(iₖ) = i₁, σ(i) = i (i ≠ i₁, i₂, ..., iₖ)
称为 轮换，特别地 二轮换 (i j) 被称为 对换。
对于 S₃ 有，
S₃ =〈(1 2), (1 2 3)〉对于的 Cayley 图为，
对于 S₄ 有，
S₄ =〈(1 2), (2 3 4)〉对应的 Cayley 图为，
在 Sₙ 中，可以证明，
▶ 任何 置换 都可以分解为 对换 的复合；
虽然 这种分解不是唯一，但是 任何 分解的 对换数的 奇偶性 保持不变，于是，若 置换 可分解为 偶数个 对换，则 称为 其为 偶置换（否则 称为 奇置换）。例如，由于，
(i j k) = (i j)(i k)
故三轮换是 偶置换。
Sₙ 的 全体偶置换 组成一个群，称为 交错群，记为 Aₙ。
对于 A₃ 有，
A₃ =〈(1 2 3)〉其 Cayley 图 就是 上面 S₃ Cayley 图 的 内三角。
对于 A₄ 有，直接 由上面 S₄ 有，
A₄ =〈(1, 3, 4), (2 3 4)〉【注： (1, 3, 4) = (1 2)(2 3 4)(1 2)。】
对应的 Cayley 图 是，
当然，也可以是，
A₄ =〈(1, 2)(3, 4), (2 3 4)〉对应的 Cayley 图是，
如果 画成 立体图表示，则上面 S₄ 和 A₄（第二个） 的 Cayley 图 分别是 截正方体 和 截取四面体 正三棱 砍去 四个角，
它们都是阿基米德多面体，首次启发，对应 A₅ 有，
A₅ =〈(1, 5)(2, 4), (1 2 3)〉或 〈(1, 2)(3, 4), (1 2 3 4 5)〉其 Cayley图 分别是 截十二面体 和 截二十面体。
【注：有一个非常重要的结论：n ≥ 5 时， Aₙ 是单群（即，没有非平凡的 正规子群），这是 证明 高次方程无根式解 的关键。】
设 V 是 数域 F 上的 n维度 线性空间 ，则 V 上的全体 可逆线性变换 （在 复合运算 下） 组成一个群，称为一般线性群，记为 GL(V)。
同时，以 F 为元素 的 n 阶 可逆方方阵 的全体 （在 矩阵乘法运算 下）组成一个 群，也称为一般线性群，记为 GLₙ(F)。
我们知道：
▶ 当 V 取定 基 B 后，其上的 线性变换 和 方阵 一一对应；
于是，
对于 任意 f ∈ GL(V) 都有 fʙ ∈ GLₙ(F) 与之 一一对应；所以 以上 两种 一般线性群 本质上是 等价的。
考虑 欧式空间 ℝⁿ，站在几何角度看，其上的 线性变换 是由 旋转 和 缩放 两种变换 组成。以 平面 ℝ² 为例， 对 其中的 单位 向量 (cos(α), sin(α)) 逆时针旋转 θ 角 后得到 (cos(α+θ), sin(α+θ))，而根据和角公式，
cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)；sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)；有，
这说明，上式 红色矩阵 就是 ℝ² 上的旋转变换。又，对 ℝ² 的向量 (a, b) 缩放 (s₁, s₂) 得到 (s₁a, s₂b) ，而，
故，上式 绿色矩阵 就是 ℝ² 上的缩放变换 。
在 几何平面 中，还有一种 平移变换，即，对于 ℝ² 的向量 (a, b) 平移 (t₁, t₂) 后得到 (a + t₁ , b + t₂)，这是一种 仿射变换 而非 线性变换，要支持 这种变换，就必须 升维，即，用 ℝ³ 的 线性变换 模拟 ℝ² 的 平移变换，有，
故，上式 蓝色 矩阵 就是 ℝ² 上的平移变换。为了统一，前面的 两种变换 分别调整为，
类似地，对于 ℝ³ 来说 三种变换则是，
其中 三个旋转变换 分别是 绕 X, Y, Z 轴 旋转 θ 角。
以上这些 群 都是来自 数学，而 实际中，群也是 有的。考虑 我们小时候 玩过的 魔法，以 三阶 魔方为例，
将其正放在面前，则有 左、右、前、后、上、下 六个面（每个面 有九个方块），将 这些面 顺时针90°旋转的操作 分别记为 R、L、F、B、U、D ，三阶魔方的所有操作 构成一个 群，称为 三阶魔方群，记为 R₃，并且 显然 有，
R₃ =〈R, L, F, B, U, D | R⁴ = L⁴ = F⁴ = B⁴ = U⁴ = D⁴ = 1〉【需要注意：实际上，魔方还有 三个 中间 面，只不过 魔方操 过中 我们固定 中间 面 不动。】
另外，三阶魔方还可以由更少的生成元生成，有，
R₃ =〈a, b〉，其中，a = UF, b = RBL 。
（今年年初，开始写一篇介绍，群表示论的文章，为了引入 群表示的概念，需要从 具体的群 入手，这就带来了 介绍 具体的群 的内容，为了不喧宾夺主，将 这部分 从 那篇文章 里 分离出来，这就有了 这篇文章。）
来源：江南水上
