基于四点共圆的动态几何最值问题——以2025年西安中考模考为例

摘要：本文以2025年陕西省西安交大附中中考数学一模试卷中一道动态几何极值问题为研究对象，系统阐述基于四点共圆理论的解题策略。通过构建几何模型，揭示动点轨迹的形成机制，将复杂的动态问题转化为静态几何极值问题，为同类题型的教学与研究提供理论参考。

本文以2025年陕西省西安交大附中中考数学一模试卷中一道动态几何极值问题为研究对象，系统阐述基于四点共圆理论的解题策略。通过构建几何模型，揭示动点轨迹的形成机制，将复杂的动态问题转化为静态几何极值问题，为同类题型的教学与研究提供理论参考。

（2025西安交大附中一模）在边长为6的正方形ABCD中，点E为边AB上动点，以EF为边作等边三角形EFG（点G位于AD上），M为FG中点。求线段EM的最小值。

四点共圆判定：∠A=90°，∠FEM=30°，可得∠AEM=60°∠AGM=∠AEM=30°（圆周角定理）四边形AEMG对角互补（∠A + ∠EMG=180°），故A、E、M、G四点共圆。轨迹确定：因∠AGM=30°为定值，点M轨迹为与AD成30°角的射线。

根据垂线段最短原理，当EM⊥轨迹射线时取得最小值。构建直角三角形EHM（H为垂足），其中：

∠EHM=90°∠EMH=30°EH为所求最小值

本研究通过四点共圆理论成功破解动态几何极值问题，验证了几何变换与轨迹分析在中考数学中的重要性。该解法不仅适用于特定题目，更可推广至同类复杂几何问题，为初中数学教学提供了新的方法论视角。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准(2022年版)[S]. 北京师范大学出版社, 2022.

[2] 单墫. 平面几何中的小花[M]. 华东师范大学出版社, 2011.

在2025年陕西省西安交大附中中考数学一模试卷里，有一道题特别“烧脑”，不少同学都在这道题上“栽了跟头”。这道题是这样的：给了一个边长为6的正方形ABCD ，点E在边AB上，然后以EF为边作等边三角形EFG ，这个点G落在AD上，而M是FG的中点，最后要我们求线段EM的最小值。

乍一看，这题可真不简单。点E、F、G都是动点，相互之间还有关联，M又跟着FG动，这可怎么找它的最小值呢？别急，咱们一步步来分析。

先从等边三角形EFG入手。因为它是等边三角形，M又是FG的中点，根据等边三角形“三线合一”的性质，连接EM后，就有EM⊥FG，而且∠FEM是∠FEG的一半，等边三角形每个角都是60°，所以∠FEM = 30°。

再看看正方形ABCD，它的∠A是直角，也就是90°。现在把目光聚焦在四边形AEMG上，我们发现∠A = 90°，∠FEG = 60°，∠FEM = 30°，这意味着∠A + ∠EMG = 180°，也就是四边形AEMG的对角互补。在数学里，有个很重要的结论：对角互补的四边形四个顶点共圆。所以，A、E、M、G这四点是共圆的。

四点共圆有什么用呢？用处可大了！根据同弧所对的圆周角相等这个性质，我们能得到∠AGM = ∠AEM。前面已经算出∠AEM = 30°，所以∠AGM = 30°。这可是个关键发现，不管点E、F、G怎么动，只要这个图形的基本条件不变，∠AGM始终是30° 。

这就说明点M的运动是有规律的，它的轨迹是一条射线，这条射线和AD的夹角是30°。现在问题就变成了求点E到这条射线的最短距离。