摘要：这里的分别表示三角形的三个边长。由此可见，这个公式是直接利用三角形的三个边长来计算面积，有人说它是古代数学中最优美的代数和几何结果之一。

不知道你有没有听说海伦公式，或者见过下面这个式子：

这里的分别表示三角形的三个边长。由此可见，这个公式是直接利用三角形的三个边长来计算面积，有人说它是古代数学中最优美的代数和几何结果之一。

这个公式最早的证明是通过纯粹几何方式的证明，异常复杂，与欧几里得对勾股定理的证明类似。

现代使用三角函数或向量积的证明要简单得多，但正如历史证明中一样，这个非常优雅的结果（在三边对称）通常是通过一个不对称的方法获得的：需要对三边做出选择，例如选定某一条边来计算高。

结果就是海伦公式具有某种对称性，但是你证明的过程却不具备对称性，这让人感到十分沮丧。因此 对于一个初等对称的证明的渴望由来已久，著名的英国数学家约翰·康威（John Conway）亲自表达过：

我会非常乐意获得一个海伦公式的对称性证明。

我看到过一些关于海伦公式对称结构性的证明，但这些证明往往依赖于非平凡的知识或假设：三角形面积的平方必须是一个关于边长的次数为 4 的多项式。

顺便说一句，在给定上述假设的前提下，该多项式该多项式必须是对称的，并且对于每一个变量都是偶数次的。

因此它必须具有如下形式：

现在我们只需将该公式应用于两个特别简单的情形，例如一条边长为 的“扁平三角形”，以及一条边长为 的直角等腰三角形，以此来确定参数 和 的取值，便可以立即得到海伦公式。

不过，关于面积平方是一个四次多项式的初始假设并不显然，因此这种推导方式多少带有一定的“临时拼凑”意味。（例如，为什么不用一个六次多项式来表示面积的立方？），是吧这一点你很难解释。

不过不用担心，数学家们已经克服了这一点，已经有人给出了一个使用复数的对称代数证明 ，但其优雅性因使用复数这一多少显得“不自然的工具”而有所削弱。

当然，数学上还存在一个比海伦公式更通用的公式证明，能够给出任意 维单纯形（simplex）体积的表达式，形式为一个 的 Cayley–Menger 行列式，其满足对称性要求。

单纯形（simplex）就是三角形（二维）和四面体（三维）的高维推广。

但就三角形的海伦公式情形而言，使用这个公式就好比是大炮打蚊子。

因此在这期推送中，我们希望发展出一种纯粹几何的、简单对称的证明，其所需的知识水平不应超出标准欧几里得几何，以便适用于能够适应中学生读者。

设 是三维欧几里得空间中的一个正交坐标系。 是一个锐角三角形，使得它的每个顶点都恰好位于坐标轴上（这在假设三角形为锐角的前提下总是可以实现）。见图1。

从原点 到顶点 的距离分别记为 ，可以通过勾股定理轻松计算得到：

我们刚刚是从边 出发，写出了：

于是立即得到：

此时我们只需引用一个古老、简单但并不广为人知的定理——德·瓜定理（De Gua’s Theorem）。

该定理指出，对于一个含有一个直角顶点的四面体，其对面（三角形）的面积平方等于其余三个直角三角形面的面积平方之和。（见图2）

这个定理虽然以 1783 年由怪才神职人员 J.-P. De Gua de Malves 所发表的名字命名，但事实上它早在一百多年前就已被笛卡尔和 Faulhaber 所熟知。

因此有：

也就是说，

即：

进一步化简为：

再简化可得：

这只是标准海伦公式（Heron’s Formula）的一种等价表达：

而且使用德瓜定理（De Gua’s theorem）的一个优点在于，它直接引导我们考虑面积的平方。

或许有人会反对说，德瓜定理的证明常常依赖于海伦公式，这似乎会导致不必要的循环论证。然而，德瓜定理本身可以被赋予更深层的意义，因为它实际上是勾股定理的三维推广。事实上，它是一个更为普适、同时也相当初等的 维结果的一个特例；这个结果的表述如下：

对于 维欧几里得空间中的任意 维子集，其体积的平方等于其在 个正交子空间上的正交投影的体积平方之和。

这一结果并不依赖海伦公式，因此使用德瓜定理证明海伦公式并不会导致循环论证。人们或许会希望依赖这一一般性定理，将上述的证明推广到任意维度的单纯形上，只需将其置于一个 维的空间中即可。

但遗憾的是，这样的推广在处理四面体体积时就已经失败了，因为在一般情况下，四面体的四个顶点无法被安置在四维正交坐标系的坐标轴上；事实上，用四个坐标来描述四个顶点是不足以体现四面体六条边的六个独立取值的。

而且你也可以看到上述的证明的一个缺点是，它只适用于锐角三角形。若能将该证明推广到钝角三角形，并保持所期望的对称性，将是非常理想的。

不过，这大概并不容易实现，因为钝角三角形你实在想不出要怎样把它放在三维的正交坐标系下。但海伦公式却对任意三角形都适用，所以上面的证明只是一个半成品。

来源：优雅枫叶THpzSU8一点号