摘要：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DH＝根号3，求AB＋BC的长(要求至少提供5种解法)。
#寒假AI学季#
有九年级网友索要“圆”这一章节难题。
本文推出一道“圆”题。
原题仅仅让求AB＋BC的长。本文要求至少5种解法。
我又添加了7层拓展，谁能拿下一个？您敢试试吗？
本题的7层拓展，可以试一试。
九年级“圆”难题，令人大开眼界
(原题)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DH＝根号3，求AB＋BC的长(要求至少提供5种解法)。
原题附图，下接7层拓展：
拓展一：求AB的长；
拓展二：求BC的长；
拓展三：求⊙O的半径r的长；
拓展四：证明∠ADB＝45°；
拓展五：证明OB∥DC。
拓展六：证明点B关于直线DO的对称点B'是DH和⊙O的交点；
拓展七：证明AB＋(BC/2)＝根号3。
以上7层拓展，谁能搞出一个，就算厉害了。
7层拓展，拿下一个，其它都迎刃而解了
原题解法一
原题解法一：既然题中透露角平分线和垂直，那就应该想到“角平分线上的点到角两边的距离相等”。
故而作以下辅助线：过点D作DE⊥BC交BC的延长于点E。
∵DE⊥BC，DH⊥AB，BD平分∠ABC，
∴DE＝DH＝根号3(角平分线上的点到角两边的距离相等)，
又DB＝DB，故Rt△DBE≌Rt△DBH(HL)，则BE＝BH。
原题解法一之附图。
∵∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，
∴∠DBH＝∠DBE＝60°，则BE＝BH＝DH×cot60°＝1，
下面证CE＝AH：方法不一，可利用旋转、也可利用全等，而全等又有不同的证法。
号称难题，其实在考查全等？
探究△DCE和△DAH的全等要件：
①DE＝DH已证，都有直角，如果再知道一组对应角相等就够全等要件了。其实较大的锐角对应相等。都和∠ACB互补。
原题解法一随时附图。
②△DCE和△DAH均为Rt△，且已证直角边DE＝DH，如果再知道斜边对应相等就够全等要件了。其实△DAC是等边三角形。由同弧所对的圆周角相等知∠DCA＝∠DBA＝60°，∠DAC＝∠DBC＝60°，即△DAC中有俩角是60°，故为等边三角形，则DC＝DA。故Rt△DCE≌Rt△DAH(HL)，则CE＝AH。
细致分析，耐心探究。
故AB＋BC＝AH＋BH＋BC＝CE＋BH＋BC＝(CE＋BC)＋BH＝BE＋BH＝2BH＝2×1＝2。
注：在证得△DAC是等边三角形后，可将△DAH绕点D逆时针旋转60°得到△DCE。这样也可知CE＝AH。
他们也是九年级。
原题解法二
原题解法二：既然让求AB＋BC，可通过辅助线将AB和BC弄到同一直线上。
以BC为边在BC右侧作等边△BCF，结合已知∠ABC＝120°得AF＝AB＋BC。然后专心求AF。
△ACF和△DCB是否全等？
原题解法二之附图。
由同弧BC所对的圆周角相等知∠3＝∠2，∠F＝∠DBC＝60°，还缺任一边对应相等。
AC＝DC就容易证。只需证△DAC是等边三角形。见解法一。
由△ACF≌△DCB(AAS)知AF＝DB＝DH÷sin∠DBH＝DH÷sin∠60°＝2。
原题解法三：同解法二类似，也是通过辅助线构造等边三角形、利用全等或旋转将AB和BC归结为线段DB的长度。
原题解法三求解附图。
辅助线如上图，在线段DB上截取BG＝BA，连接AG，则△ABG为等边三角形，故AG＝AB。
再由△DAC是等边三角形得AD＝AC，又∠4＝∠2，故△AGD≌△ABC(SAS)，则GD＝BC。
故AB＋BC＝BG＋GD＝DB＝DH÷sin∠DBH＝DH÷sin∠60°＝2。
平时注意多探究，以不变应万变。
原题解法四和解法五
原题解法四：先证△DAC是等边三角形，再将△DCB绕点D顺时针旋转60°，将BC搬至KA处，易证得△DBK是等边三角形，AB＋BC＝BK＝BD＝2。
原题解法四之附图。
原题解法五：辅助线构造等边三角形，然后全等。
由题意DA所对的圆周角∠DBA和DC所对的圆周角∠DBC均为60°，故DA＝DC；又由同弧所对的圆周角相等知∠DCA＝∠DBA＝60°，故△DAC是等边三角形，DC＝AC。
原题解法五之附图。
在线段BD上截取BM＝BC，由∠CBM＝60°知△BCM是等边三角形，MC＝BC＝BM。
易证得△DMC≌△ABC(SAS)，故DM＝AB，则AB＋BC＝DM＋BM＝DB＝DH÷sin∠60°＝2。
关于原题，本文暂提供5种解法。
本题的拓展。
本题的7层拓展，我不再一一提供求解证明。
因为我发现，孤零零地提供一道无答案的题，阅读量却很高；我卖力地提供详细解析，阅读量却并不高。
平时学习，如果能把一道题钻研透彻，那就不怕中考、高考了。
因为考来考去本质是考融会贯通。
考来考去，本质是考查融会贯通。
所以，以不变应万变，最好的灵丹妙药是，将一道典型题翻来覆去透彻钻研。
大道理谁都知道，可惜的是学生依然在昼夜疲劳刷题。
所以我历来坚持纯原创，坚持多角度透彻解析，坚持篇篇经典，从不原封搬运答案。
多数老师反映校方不给留探究的时间。
作者简介
中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。
专注教育领域，持续发布中考、高考压轴大题的多角度原创详细权威解析，力求篇篇经典。从不照搬答案。
到了高中，俺依然是您的良师益友。
发文涉及科目主要有中高考数学、物理，偶尔也有英语、化学、作文。
整个高中，俺依然是您的良师益友。
期待您的评论、点赞、收藏、分享。
期待您的持续关注。
来源：莹莹课堂