摘要：出土秦简牍中的里耶秦简“九九表”、岳麓书院藏秦简《数》、北京大学藏秦简《算书》等，是目前所见中国最古老的三种数学教材实物，是秦代基层官吏实际使用过的数学教材。通过文字考证和教育学释论发现，它们的主要内容和最高难度，大致相当于现在小学高年级和初中一二年级的程度；
摘要：出土秦简牍中的里耶秦简“九九表”、岳麓书院藏秦简《数》、北京大学藏秦简《算书》等，是目前所见中国最古老的三种数学教材实物，是秦代基层官吏实际使用过的数学教材。通过文字考证和教育学释论发现，它们的主要内容和最高难度，大致相当于现在小学高年级和初中一二年级的程度；已经鲜明地显现出重社会性、重实用性的中国古代数学文化传统；北大秦简《算书》尤为明显地体现了当时数学教材的编撰体系；秦代数学教育出现了普遍化的趋势，重要表现就是基层化、教材化和课程化；这些教材实物幽微地折射出当时学习者的状态，打开了一扇认识秦代教育的窗户，蕴含着丰富的教育信息，具有多重教育学研究价值。
近二十年来，出土秦代简牍中的三种数学教材，是我国迄今所见最古老的数学教材实物，对于中国数学史研究、数学教材和数学教育史研究，乃至秦代教育史研究，都具有填补空白的意义。从教育学科对这三种教材实物进行研究，基本未遑开展。
研究者认为：“从秦汉之际至西汉末期为中国数学发展史上的第一个高峰”；“中国传统数学的第一个高潮出现在春秋战国，完成《九章算术》《周髀算经》等著作的编纂，只是这个高潮的总结。”[1]这个中国数学史上的第一次高潮高峰，也是中国古代教育的第一次高潮高峰期，还是中国古代文化文明的辉煌盛大时期，历史逻辑的一致性显而易见。或者可以说，这一时期文化文明的辉煌盛大，其重要内涵、表现和基础就是文化教育之发达，其中包括数学文化和数学教育的发达。数学教育是当时文化教育的一个重要方面，为秦汉文化文明的辉煌盛大注入了知识力量，秦汉文化文明又对数学及其教育的发展提出了历史要求。遗憾的是，长久以来没有发现这些著作的原本实物。
一、秦代简牍数学教材的出土情况和整理研究
目前，出土简牍所见战国、秦汉的数学文献实物，仅有清华战国简《算表》，里耶秦简中的“九九表”、岳麓书院藏秦简《数》、北京大学藏秦简《算书》等，张家山汉简《算数书》、睡虎地汉简《算术》、阜阳双古堆汉简《算术书》，以及敦煌汉简、居延汉简、居延新简中的“九九表”等。它们具有明显的传承关系。其中，秦代数学教材除了三种秦简之外，张家山汉简《算数书》和睡虎地汉简《算术》一般被认为成书于西汉早期，汉承秦制，也一定程度反映了秦代数学教育及其所包含的社会思想状况，可以一并研究，作为秦代数学教育和秦代教育的重要参考比较。
里耶秦简“九九表”或称里耶秦简九九乘法口诀表，2002年出土于湖南省龙山县里耶古城遗址一号井第六层，木牍，长23厘米、宽5厘米，正反面书写，九九表写于正面，背面有字两行。图版、释文可见《里耶秦简（壹）》[2]图版9，考释可见《里耶秦简牍校释（第一卷）》等[3]。
岳麓书院藏秦简（以下简称“岳麓秦简”）《数》。2007年湖南大学岳麓书院从香港购得一批秦简，整理后这批简共编号2098个，比较完整的简1300余枚。[4]其中，《数》共有编号简236枚、另有无编号残片18枚，经整理总字数6300字左右。图版、释文可见《岳麓书院藏秦简（贰）》[5]和《岳麓书院藏秦简（壹—叁）释文修订本》[6]79-131，系统性考释、研究的代表作是湖南大学肖灿教授著《岳麓书院藏秦简〈数〉研究》一书。“《数》简文字书写风格统一，与其他几类简有较为明显的区别”。其内容涉及土地面积、农作物产量和租税、仓储管理、工程土方量、货物交易、军事等相关的计算；数学方法包括分数的四则运算、比例算法、盈不足术等算术问题，以及面积、体积、勾股等几何问题。《数》有完整算题80例（现存题设条件和问题或答案，能依据简文列出算式的算题视为完整算题）、单独成文的“术”19例，记录谷物体积重量比率、兑换比率的简34枚，记录衡制的简3枚。[7]12，22
北京大学藏秦简（以下简称“北大秦简”）《算书》等。2009年北京大学获赠一批秦简牍，经整理得竹简763枚、木简21枚、木牍6枚、竹牍4枚、木觚1枚，以及算筹61根、木骰1枚等。[8]1029这批简牍经过10多年的整理研究，图版、释文新近全部公布，可见北京大学出土文献与古代文明研究所编《北京大学藏秦简牍（全五册）》（上海古籍出版社2023年版）。这批简牍中，与数学相关的内容所占比例最大，共有竹简4卷、总计400余枚，以及“九九术”木牍一方。其中，卷七《成田》简24枚、卷八《田书》简51枚，“应该是供人学习田亩、租税计算的一种特殊算术教材或参考书”，涉及的数学运算比较简单；卷三中的《算书丙种》简66枚，卷四中的《算书甲种》简235枚和《算书乙种》简38枚（面），主要是数学计算方法和例题汇编等，“与张家山汉简《算数书》、岳麓秦简《数》以及传世《九章算术》有很多相似之处”，“是出土秦汉数学简牍中数量最大的一批。”[9]其中，又以《算书甲种》篇幅最长、最为重要，它的“四个组成部分都是同一书手所抄，抄写的时间可能相距不远。”“北大秦简中的数学类简牍，其抄写年代与岳麓秦简《数》接近，二者同为目前所见我国年代最早的数学书籍。”[9]《算书甲种》第一部分32枚简、长达800多字，整理者命名为《鲁久次问数于陈起》，内容是论述数学的起源、作用和价值等数学本体性问题，“对于中国古代数学思想史的研究具有重大意义”[10]747。北京大学藏秦简牍与数学部分相关的研究，可见韩巍、邹大海等人《北大秦简〈鲁久次问数于陈起〉今译、图版和专家笔谈》等研究论文[11-12]。
秦代简牍数学教材实物填补了中国早期数学史和数学教育史的空白，把中国数学史和数学教育史确凿证物的年代大大推前了几百年，其意义不言而喻。由于它们都是2000年以后才出土发现的，其整理、公布和研究更是近10年以来乃至最近的事情，因此以往的数学史研究中难以使用，数学教育史、教育史研究中更是基本空白。
虽然研究者们相信，在成书定型于东汉的数学经典《九章算术》之前，一定还存在着若干数学著作，但由于缺乏实物证据，研究曾长久付诸阙如。著名中国数学史学家李俨、钱宝琮的著作，几乎都未涉及秦代数学内容，一般是从春秋战国时期“墨家和名家的数学概念”，直接跳跃到“《九章算术》的形成及其内容”[13]。直至20世纪末出版的《中国数学史大系》第一卷《上古到西汉》，才可能具备初步的研究条件。该书共四编，其中第三编为《秦汉简牍中的数学与筹算》，由于材料所限，只在本编第二章专门研究了张家山汉简《算数书》，第三章《简牍中的零星数学史料》主要引用的是汉简中四则运算、分数算法、比和比例、面积和体积、经济数学等资料，涉及秦简极少，仅在讲土地面积（田亩）时引用了四川青木川郝家坪出土秦木牍《田律》简文，在经济数学部分引用了睡虎地秦简《仓律》《金布律》《田律》中的少量简文[14]356-357，361-363，仍无法对秦代数学进行专门研究。可以说，2000年以前出版的中国数学史研究著作，对于秦汉数学史的研究一般是从汉代《九章算术》正式开端并以此作为研究重点的，仅有少量内容涉及、使用了秦简牍的零星材料。
直到2000年以后，由于张家山汉简《算数书》的整理公布，才使得秦汉数学史的研究由《九章算术》上推至《算数书》，甚至《算数书》一度被认为是中国最早的数学著作[15]。“在《算数书》发掘之前，对中国数学史的研究，一般认为《九章算术》是流传至今最古老的数学经典著作。”而“《算数书》的发掘，是中国数学史上的一项重大发现，不仅把中国数学史成书的历史提早了300年之久，并对中国数学史时期的划分提供了有力的佐证，也给两个时期的连接增加了丰富的内容。”[14]300浙江大学沈康身教授较早从数学和数学史的专业领域，深入系统研究了《算数书》，并将其与同时代古埃及、巴比伦、古代印度的数学成就进行了专门细致地比较研究，认为跟古埃及数学相比，“在计量、记数方面《算数书》见胜”；与巴比伦相比，“巴比伦算题题材多样可以与《算数书》媲美。在计量、记数制度方面则逊于《算数书》”；与古代印度相比，印度“在算题、算法的记载，从量到质印算较逊。在几何方、圆图形变换及其各种规则、公式，在不定分析方面的罕见成果等均是《算数书》的空白点。”[16]
2010年以来，对于数学著作实物的研究又由西汉初年的张家山汉简《算数书》上推至秦代简牍，其代表就是对于岳麓秦简《数》的研究。2010年出版的巨著《中国科学技术史·数学卷》，在第三章第四节《秦简〈数〉与汉简〈算数书〉》中，用不足两页的篇幅对于岳麓秦简《数》进行了简要介绍。[17]这既表明岳麓秦简《数》的重要并引起了专业领域的重视，也表明从专业领域对于岳麓秦简《数》的研究还有大量工作要做。目前，对此的综合性、代表性研究成果有湖南大学肖灿教授的专著《岳麓书院藏秦简〈数〉研究》和论文集《简牍数学史论稿》，以及武汉大学谭竞男博士论文《出土秦汉算术文献若干问题研究》等相关研究。
综上可知，迄今相关研究主要集中在三个方面。一是对于简牍的缀合整理和释读，主要集中在考古、语言文字等学科，此方面成果数量最多，也是其他学科研究的基础，常研常新。二是历史学科、尤其是社会史学科的研究成果，与第一方面成果多有交叉，多从简文释读来研究秦代的社会、经济、政治和军事等情况，前者是研究的基础，后者是研究的必然延伸，例如研究数学中的“舆田”类算题而推衍至秦代田亩、土地制度的研究[18-19]，以及里耶秦简所见行政与算术的关系等[20]。三是数学史学科的研究。对于秦代简牍数学文献的研究，从考古学、语言文字学到历史学再到数学史研究，研究逻辑依次展开，研究成果的丰富程度依次减少。
遗憾的是，三种秦代简牍数学教材是目前所见中国最古老的数学教材实物，本质上是数学教材。恰恰从数学教材、数学教育和教育学科的角度研究这些数学教材实物还几乎未遑开展，存在极大研究空间。
二、秦代简牍数学教材的学习者和编撰体系
先秦和秦汉时期，是中国专门数学著作的形成期，也是中国古代数学教材的形成期。数学家吴文俊认为：“这一阶段的主要特征是专门数学著作的出现，明确知道的至少有4部数学著作，即《算数书》《许商算术》《杜忠算术》和《九章算术》，前后相距大约不过150年。数学专著的出现标志着数学知识的集中。”再加上其后成书的《周髀算经》，“形成了中国数学发展史上的第一个高峰”。“这个时期，《九章算术》占有极其重要的位置，可以与西方欧几里得的《几何原本》相比，它不仅是人们学习数学的标准教科书，而且研究数学也以该书为起点甚至作为撰写数学书的模式。”[14]57-58
秦代简牍所见数学著作，尤其岳麓秦简《数》和北大秦简《算书》的发现，把中国数学教材实物的起始时间大大推前了。它们既是数学著作，更是当时的数学教材，从撰著的角度来讲它们是数学著作，从学习和使用的角度来讲是数学教材，这种著作与教材两兼的情况，在先秦和秦汉时期尤为明显和普遍。学者编撰著作是为了教授弟子、传播思想，弟子们听讲、记录、传抄著作是为了学习知识、传承思想。这些著作的编撰主要有两种形式，一是“述而不作”、重在“编”，所谓“孔子删定《六经》”是也；一是既述又作、重在“著”，诸如《孟子》《荀子》等是也。比较而言，前者的教材意图更为明显，后者兼具专著与教材的色彩。无论何种，都不是为了孤芳自赏、藏诸深山，都是为了流布传播、供人学习，从这个意义来讲都是教材。秦代简牍所见三种数学文献，可以确定都是教材，是被实际使用过的教材，从内容和适用对象来讲具有层次性和系列性。在漫漫历史长河中，一二十年间集中出现这三种教材，可供后人比较研究，可谓历史之厚赐。
里耶秦简九九表是基层小吏使用的数学速查手册。此木牍正、背两面有字，正面是九九口诀表，背面有两行简文“行邮视范以以邮行行守敢以以”“小吏角有□”[2]释文7。这两行看似无意义的字，在教育史研究者眼中却包含着重要的信息。这是一篇习字简，即识字习字所用简，写的都是跟工作相关的常用字，“行邮”“视”“以邮行”“守”“敢以”等都是秦代公文常用名词、用语和格式。确切地讲，这片木牍是九九表与习字简的合简，正面是九九表，背面是识字习字，用今天的话来讲就是数学教材和语文作业本的合体。虽然从字体来看，正面背面的文字不像同一人所写，但可以确定书写者即使不是同一人，身份也大致相当，尤其背面书写者基本可以确定就是“小吏角”，小吏是身份，“角”是他的名字，是一名里耶的基层小吏。惊人巧合的是，北大秦简“九九术”木牍也是正、背两面皆有字，正面的九九口诀表与里耶秦简九九表完全相同，背面也是习字简，背面四行简文“不言三百□章六百凡千二百百载竹者以乙未下行”[21]，是九九表相关内容和公文用语的练习，正面背面字体一致，为同一人所写。这些，就透露出秦代基层小吏的数学和语文水平，或者说必备的数学、语文知识水准和技能，就是数学要熟练掌握四则运算，并且达到熟练心算口算的水平，语文要熟练掌握日常工作、公文所需常用字的识、写、用。从简牍的字体墨迹来看，书写堪称熟练，在当时简牍、笔墨和书写姿势下，左手持简，右手执笔，悬肘书写，用毛笔熟练书写这种仅0.5厘米见方的小字，相当于后世的蝇头小楷，表明书写者必须经过专门训练并且经常使用才不会“手生”，也表明了当时基层小吏的数学和文字的能力水平。同时表明，当时毛笔作为普遍书写工具制作已经相当成熟[22]，而且检测发现，北大秦简用墨“应当是经过筛选的质量上乘的松烟墨”，“与现代松烟墨的粒径范围接近”[8]963。书写工具的定型、普及、广泛使用和制作质量，无不反映了当时的教育教学情况和水平。
岳麓秦简《数》可能是县级官吏使用的数学教材和工作手册。这批简牍是否属于同一墓主，甚至是否全部为墓葬出土，目前出于考古学的审慎尚无完全定论。[4][23]可见的是，全部简牍并非一人手迹，其中《数》简为同一人所写，表明墓主不是全部简牍的原作者，甚至也不是亲自抄写者，而是另有为他抄写服务者，并综合考察这批简牍以法律类文献为主以及其中的《质日》简内容，可以推测墓主的地位和身份，作为随葬品又可见这些文献对于他的重要性。甚至有研究者认为，“《质日》的拥有者很可能曾任江陵县丞。”“岳麓秦简很可能至少一部分是墓主生前在日常工作中用的文献。”“《数》好像也有助于县丞的管理工作，如赋税的计算等都需要掌握数学。”[24]
研究者还认为，岳麓秦简“《数》看起来就像一本用心编排的教材”，“《数》可能是秦代的算数教材。”[25]3，16“《数》的算题有些是独有的，有些亦见于张家山汉简《算数书》或《九章算术》。”“它是一部非经典的实用算法式数学文献抄本。”[6]80李学勤先生认为，张家山汉简“《算数书》是一种实用的数学问题集”，可据以讨论社会经济等问题。[26]岳麓秦简《数》与张家山汉简《算数书》在形式和内容上的相近性，是显而易见的，两者都是当时实际使用过的数学教材。两书不像《九章算术》《周髀算经》那样流传有序、名垂历史，都不见于《汉书·艺文志》等著录，显然不是名人名著，不是广泛使用的教科书。
北大秦简《算书》等的使用者身份可能稍高，数学知识的难度却比岳麓秦简《数》略低。“这批简牍的主人应是秦的地方官吏。”[27]北大秦简入藏时为一整包，基本可以推断是同一墓主所有。这批简牍既有《从政之经》《善女子之方》等官箴教化类文献，又有数学、数术方技、记账文书、《道里书》《制衣》等应用类文献，还有《公子从军》《隐书》《泰原有死者》等文学志怪类文献，还有一枚行酒用的骰子，却没有一篇法律类的文献，这与睡虎地秦简、岳麓秦简等以法律类文献为主的简牍颇有不同。由此推测，北大秦简主人的身份地位，可能比岳麓秦简的主人还要稍高一些，人文色彩更浓一些，数学方面专业倾向亦更明显，更多专注于田地、租税等内容，但数学知识的难度较岳麓秦简《数》稍低，最高相当于小学高年级水平，或许可以推断简牍主人是一位江汉平原主管田地的中级官员。
北大秦简《算书》可分甲、乙、丙三种（篇）。其中，篇幅最长、最重要的《算书甲种》又分四个部分。第一部分《鲁久次问数于陈起》，相当于“概论”，主要讲数学的地位和价值等基本问题。第二部分是“九九术”，自“九九八十一”始，至“一一而二”终，另有“九九术”木牍一枚，篇末多出了“二半而一”，故其乘积总和为“凡千一百一十三字”，与里耶秦简九九表内容完全相同。研究者认为，“将‘九九术’表格抄录于‘算题汇编’之前，说明它是当时学习算术者必备的基础知识，可能也有方便随时查阅的用意。”[9]第三部分是“算题汇编”，算题一般由一种“术”（解题方法）和一道或数道例题组成，此乃《算书甲种》的主体部分。第四部分是衡制换算。《算书丙种》主要是各类算题的汇编，“算题内容按照《九章算术》的体例，大致可归为‘少广’‘方田’（含‘同分’）、‘租枲’‘粟米’‘商功’‘衰分’等几大类。值得注意的是，这几类算题的先后顺序与竹简‘卷四’中的《算书甲种》基本一致，可见最迟在战国晚期至秦代，算术类古书已形成比较稳定的文本结构。”[28]
综上可知，秦代简牍所见三种数学教材的性质不同于《九章算术》《周髀算经》等数学经典著作，它们不是教科书，不是官编的、定本的教科书，而是使用者抄写的学习笔记，是学习者使用的教材。可以推测，《数》《算书》等教材可能都有一个或几个比较成熟、公认、广泛使用的“祖本”“蓝本”“定本”之类的东西，即“教科书”，今已不可考，至少目前尚未发现。因此，有研究者认为，《九章算术》在汉代成书之前一定存在许多数学著作，张家山汉简《算数书》只是其中一种，它与《九章算术》没有直接的传承关系。[29]比张家山汉简《算数书》稍早的岳麓秦简《数》、北大秦简《数书》，亦当如是。
三、秦代简牍数学教材的教育学考论
其一，秦代简牍所见数学教材的主要内容和最高难度，大致相当于现在小学高年级和初中一二年级程度。正如吴文俊认为，这一时期的数学，“从数学内容来看，大体上都是算术和初等几何问题，也有极少数的初等代数和数论问题。这些问题多数与具体事物相连结。”[14]前言1
其二，秦代数学教材的基本编撰体系可以由此大致复原，北大秦简《算书甲种》体现得最为明显，由概论、九九表、算题汇编、衡制换算4部分组成。首先是《鲁久次问数于陈起》，相当于“概论”“绪论”。然后是九九表，相当于乘除法的便查手册。岳麓秦简《数》中的“乘分”部分，也附抄有类似乘法口诀[7]64，可能也是为了便于查用。有研究者认为，“秦代对乘法口诀的推广和应用是比较重视的，或许到了汉初，这乘法口诀已是耳熟能详的东西了。”[4]再然后，就是算题汇编，这是教材的主体部分，“少广”类题放在算题的开头。所谓“少广”，就是已知长方形面积或长方形体积求其一边之长的方法。少广类题与田亩租税的实际应用密切联系，此或亦是教材使用者的主要工作。北大秦简在“内容方面，有关田亩和租税的计算占《算书甲种》的一半左右，仅田亩计算就有‘里田’‘径田’‘方田’‘箕田’‘员（圆）田’‘启广’‘启从（纵）’等术。”[10]758-789由此，把少广类题放在了重要的基础性地位。日本研究者甚至认为，张家山汉简《算数书》、睡虎地汉简《算术》等，开头算题都是少广题，与北大秦简《算书》的排列顺序相同，岳麓秦简《数》原貌也有可能如此。“秦汉时期算术书里，为什么‘少广’题放在开头呢？我推测，这是因为‘少广’题有一个特长，就是把分数计算换算成整数计算的应用性。”[30]这是从数学知识的内在逻辑进行解读，不失为一解。也有研究者认为，“‘少广’中涉及四则运算、通分、求公倍数等各种方法，所以陈起说它是‘算之市’，各种算法无所不有。”[10]756《算书甲种》的最后部分，是衡制单位换算。[10]807-809“由此可见，《算书甲种》的篇章结构是编者有意安排的结果，体现了编者对数学学习方法的认识。而三枚‘篇题简’所显示的‘篇’这一文本单元的存在，说明《九章算术》以‘章’为单元来汇编算题的做法渊源有自，早在战国晚期已经出现。”[10]748
其三，秦代数学教材已经鲜明地显现出重社会性、重实用性的中国古代数学文化传统。外国研究者甚至认为，“张家山的《算数书》、岳麓书院的《数》目的不是帮助那些只是想着‘完全为了追求知识’‘悟其道’的人的，而是为帮助那些想要让他们的知识服务于实际用途的人的。在古代中国，有些专家从事教授普通人在日常工作中如何运用数学的工作。”[31]这是中国古代数学，与古希腊追求“理性”的数学的重要不同，中国古代数学是突出社会性和应用性的。
目前，岳麓秦简《数》与西汉初年张家山《算数书》简的比较研究，关注点主要在于内容、算题的异同。需要进一步研究的是，两者的差别究竟是数学知识发展、教材编写逻辑所导致的，还是教材使用者在学习过程中笔记摘抄所造成的，尤可将岳麓秦简《数》、北大秦简《算书》以及张家山汉简《算数书》与作为教科书的《九章算术》进行比较，由此更可看清秦汉数学教材的编撰体系和发展逻辑。研究者认为，《九章算术》可分为“术文统率例题”与“应用问题集”两种体例。[32]这种数学教材编撰体系，恰是体现了数学突出社会性和应用性的特点，其在中国古代传承近两千年，深刻影响了中国古代的数学教育教学，成为一种数学文化传统和数学教育教学的传统，乃至影响以迄于今，极大塑造了中国人的数学思维和思维结构。
其四，秦代数学教育出现了普遍化的趋势，其重要表现就是走向基层，成为县级以下基层官吏的必备要求。秦代官府机构及其职能分工还不很细密，要求基层官吏具备较为综合的知识能力，“一身多能”“能写会算”，更加促进了数学教育的下移和普及。
秦简所见三种数学教材，都不是直接墓葬出土，无法确定简牍主人的具体信息。但通过综合分析，大致可以推断简牍使用者的基本身份。里耶秦简是这座秦代湘西小城的县府档案，是经过初选后有意埋藏保存的。九九表仅是17000多枚有字简之一，从该简的正面背面内容综合来看，使用者、书写者当是基层小吏。岳麓秦简则可通过分析同批的《质日》等简，尤其是《质日》中所载的任职履历及其曾到首都咸阳等地公务出差，享受公务人员出差的驿站、餐食待遇，以及《数》简所包含的数学内容和难度，推断使用者的身份低于县令、高于基层小吏，相当于现在的科级或副县级干部。北大秦简的文献内容与岳麓秦简有区别，使用者的身份、文化素养也更高一些，有研究者认为，从陈起与鲁久次的对话中，“可以推测鲁久次不是一个普通‘学算之人’，应当是一位官府的行政人员，而陈起也应该是熟悉行政事务的数学家。此类学者后来多以‘善算命世’而执掌官府的职能部门。”[33]可见，三种数学教材的使用者可能分别是基层小吏、县里的部门官吏、主管粮食部门的官吏等，大致相当于现在的一般或股级干部、科级或副县级干部、县级干部等，如果县级干部又是由科级、股级干部升迁上来的，更可见秦代数学教育在基层的普及情况。秦汉对于基层官吏的基本要求之一就是“能书、会计”，历经演化沉淀，“能写会算”成为千百年来中国民间对于基层“能人”的核心素养要求和褒扬之词。
其五，秦代数学教育普遍化的另一重要表现，就是教材化和课程化。很长时期，由于史料所限，即使为数颇少的研究秦代教育、秦代学吏制度的专门论著中，亦未遑将数学教育列为基层官吏培养训练的必备内容。[34]秦代简牍三种数学文献的发现，拓宽了研究视野，研究者开始认为“数学是当时官吏的必备知识技能”，“《数》是秦代‘学吏’教本”[25]116，96，彭浩更认为“秦汉时期，数学是官吏必修的课程，数学知识在国家治理方面有‘工具’作用。”[7]9秦代不同学习者使用的“大同小异”的数学教材，既表明当时学习者数量之多，也表明个性化教材之上可能还有一种或几种教科书，教科书的公认度较高甚至获得官方认可，类似于《仓颉篇》《爰历篇》《博学篇》等官修识字教科书；进而，如果出现过官修数学教科书，则表明数学的学习教育是官方倡导甚至规定的行为，甚至成为官吏的培养训练和考核内容，亦即数学学习的课程化。由此，“学习者使用的教材—官修教科书—规定课程”之间就形成了逻辑链条。
其六，秦代简牍所见数学教材幽微地折射出当时学习者的状态，包含了丰富的活生生的“人”的学习信息。它们是教材而非教科书，确切地讲是学习者、使用者的“数学笔记”，或者说是数学习题本、练习册、难题本、错题本等。教科书在传承传授传抄过程中，不断被使用者根据自己的需要摘抄或“修订”，按需记录，按需整理，按需归类，使用者、传抄者也成为教材的参编者，教科书因人因需损益，呈现“大同小异”的特点，“大同”是指主要形式、内容甚至例题没有根本变化，“小异”反映着学习者、使用者、抄录者的真实状态，就像一本学生使用过的、上面勾勾画画、有听课笔记、有习题作业的教科书，远比一本未经使用、整洁如新的教科书印刷品，包含着更加丰富、更加生动的教育历史细节和研究价值。这正是秦代简牍所见数学教材不同于传世的《九章算术》《周髀算经》之处，也正是其难得和独特的地方。
研究课程标准、统编教材等文本，固然可以反映一代之教育政策和教材状况，同时“教育政策—课程标准—统编教材—教案学案—笔记本和作业本、习题册”是一个漫长链条，其中包含着教育政策的实施、延展和修正、变异，也存在着学校、师生在教育教学和教材使用过程中的损益变通，隐曲地反映了教育教学的基层实情，反映了教育政策在实施中的落差和变形，两相对照，更可以折射出统治者的教育教学政策与基层教育教学实践之间的博弈。
其七，秦代数学教材实物，蕴含了丰富的教育信息，具有多重教育学研究价值。不仅可以让我们知道秦代数学教材的实际样貌，还可进而探寻当时数学教育乃至教育的实际状况。它们反映了秦代基层官吏的计算能力和数学知识水平，还反映了他们的知识结构及其形成，即统治阶级“让”基层官吏接受什么教育、形成什么知识结构，在此过程中基层官吏、学习者又是如何抉择和因应的。例如，岳麓秦简《数》作为一本数学学习手册，它与上位的教科书、教师的教学等相比做了哪些取舍和重新编排，其关注和使用的重点是什么，为什么要做这些取舍和重新编排，是因为学习者的数学水平还是工作需要，与学习者的工作有什么关系，背后隐含着学习者怎样的知识价值观，等等。
上述教育问题产生的社会原因，特别是教育状态与社会状况之间的关系，更是研究秦代教育的宏大话题。由此，复原和理解秦代基层管理者的知识图景，想象和推断他们是如何用此知识图景来认知社会和世界的；最终，分析秦代数学教育对于中国古代教育、古代社会的影响，形成怎样的教育传统赓续于今，构成中国人怎样的民族思维结构、认知图谱和知识价值论。作为研究展望，秦代简牍所见数学教材实物，为我们打开了一扇窥探秦代教育的窗户，窗外的丰富图景还有待不断认识。
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引用格式：
李剑萍,杨旭.中国最古老的三种数学教材实物及其教育学考论：秦代简牍所见[J].教育学报，2025，21（2）：97-107.
来源：古籍