摘要：从现代的角度来看，莱布尼茨于1684年发表在《教师学报》上的那篇关于微积分的里程碑式的论文的确略显奇怪。
从现代的角度来看，莱布尼茨于1684年发表在《教师学报》上的那篇关于微积分的里程碑式的论文的确略显奇怪。
他直接跳跃到了一系列我们现在所熟知的微分基本法则上，几乎没有解释它们的意义，更没有解释它们为什么成立。
第一条法则关于函数和的微分，可以写成以下的形式：
虽然现在它看起来并不令人感到惊讶，但是它的确很有价值，而且在前面的内容里，我们已经用过好几次这一法则了。莱布尼茨还给出了函数差的微分，与上面函数和微分的形式等价。
在这之后，莱布尼茨给出了两个关于x的函数乘积的微分法则。
这个法则远没有第一条法则那么显而易见，而且我们现在从莱布尼茨的早期手稿中知道，他刚开始得出的结论也是错的。
乘积的微分
这一法则如图55所示，我们将用一个类似于在“5.微分”中用过的方式来证明。
图55 函数乘积的微分
首先令x增大至x+δx， u和v对应的增量分别为δu和δv。
接下来，uv的增量δ(uv)可以表示为(u+δu)(v+δv)-uv，化简后即δ(uv)=uδv+vδu+δuδv。
等号两边除以δx后，可得
最后，令δx→0，则δu→0、δv→0。根据导数的定义，并考虑到δv趋于0时
整体也趋于0，我们可以得到图55所示的法则。
假如u和v都大于0，我们可以尝试从几何的角度理解这一法则。把u和v分别看作一个矩形的两个邻边的边长，则矩形的面积为uv(见图56)。很显然，当δu和δv非常小时，面积上的微小增量基本上可以用图中两个阴影矩形的面积之和来表示，即uδv+vδu。这样我们就从另一个角度理解了这一法则的数学形式。
比值的微分
两个关于x的函数的比值u/v的微分法则也可以用相似的方式推导出来。
令x增大至x+δx，此时u增大至u+δu，v增大至v+δv。因此，比值u/v的增量δ(u/v)为
上式右边除以δx后，令δx→0(同时有δu→0、δv→0)，我们便可得到图57所示的结果。
图57
这是莱布尼茨在1684年发表的论文中的最后一条基本法则。在“17.π与奇数中”中，我们将用这一法则推导数学史上最伟大的数之一——π。
xⁿ的微分
早在“5.微分”中，我们就说明了
图1 幂函数的求导公式：幂次方法则(power rule)
式中n可以为任意正整数(且为一个常数)。接下来，我们可以用莱布尼茨的乘积的微分法则来证明这一结果。
首先，我们有下面这个重要结果：
(x²)'=2x (书中采用了图1所示的微分符号，但是打字排版不方便，所以改用撇号这种大家熟悉又打字方便的微分符号，下同)
然后，为了求x³的微分，我们可以把x³看作x²·x的积。结合乘积的微分法则，可得
(x³)'=2x·x+x²·1=3x²
利用这个结果和相同的处理办法，我们可以求x⁴的微分，结果为4x³。如果继续用这种方法求x的高次幂的微分，我们很快就可以理解为什么对于更大的n，这一规律也必然成立。
实际上，这一结果有更广泛的适用范围。莱布尼茨在他1684年的论文中强调，“xⁿ的导数是nxⁿ⁻¹”，这一结论甚至对于指数n是分数或者负数时的情形也同样成立。
例如，由指数定律可得
故
表示一个正数x的算术平方根，即
同理，
所以，我们也可以把莱布尼茨提出的法则用于求这些x的幂的微分。
对于n=-1，由这一微分法则得到
这与我们在“5.微分”中得到的结论一致。
x的-1次幂的微分
莱布尼茨与无穷小
正如之前所说的，莱布尼茨的论文中并没有这些结果的推导。
论文中的结果是以另一种方式呈现的。例如，莱布尼茨把乘积的微分法则写作
d(uv)=udv+vdu
奇怪的是，他从未清晰地解释过像du和dv这样的量的意义，但是，他在更早(大约是1680年)的一篇未发表的手稿里写道：
d(xy)=(x+dx)(y+dy)-xy
=xdy+ydx+dxdy
并附有以下文字描述。
因为dx和dy是无穷小的，所以相对于其他项而言，dxdy也是无穷小的。如果忽略dxdy，则该式等于xdy+ydx......
相比之下，这本书以极限的思想为基础，而不是无穷小。由此看来，莱布尼茨的视角与本书有不小的差异。
最短时间问题
在这篇论文的最后，莱布尼茨把他的新方法应用于一个重要的实际问题。
我们用图58来重述一下这个问题。需要说明的是，这并不是莱布尼茨原本的表述。问题如下：我们怎么可以尽快地从沙滩上的点A到达海里的点B呢？当然从A点到B点的直线是路程最短的方案。但是如果我们跑步的速度比游泳的速度快的话，那么采用类似于图58中的方案(在沙滩上跑较长的路程、在海里游较短的路程)反而能节省更多的时间。
不管哪种情况，微积分都可以提供最后的答案：如果我们选取的角度满足以下条件，就可以令时间最短。
式中c沙是我们跑步的速度，c水是我们游泳的速度。
实际上，在莱布尼茨的论文里引出的问题并不是一个关于跑步和游泳的问题，而是关于光传播的问题。
当光从一种介质射入另一种介质时，光会发生折射现象。而只需要把式中的c沙和c水替换成光在两种介质中的传播速度，光的入射角和折射角就可以满足同一个公式。
所以，微积分说明了光在两种介质的分界面发生折射现象时，会以最短的时间从一点传播到另一点。
到这里，有些人肯定会有这样的疑问：光怎么知道走哪条路线用时最短呢？
对于这个问题，我一直都很喜欢的物理学家理查德·费曼(Richard Feynman，1918～1988)曾给出一个有趣的(源自量子力学的)回答：“它并不知道。它把所有的路线都试了一遍。”
以上内容引自《微积分的故事》，作者是［英国］大卫·艾奇逊。
读后感
在高中数学的微积分课本里，相应于函数极限的四则运算法则，根据导数的定义来导出求导数的四则运算法则，以简化求导数的计算。
在下面的公式中，u和v都是x的函数，而且都是可导的。
1.和(或差)的导数
法则1
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)。即
(u±v)'=u'±v'
证明略。(读者可以自行查阅教科书)
这个法则可以推广到任意有限个函数。
举个例子。求y=x⁴-x³-x+3的导数。
解：y'=4x³-3x²-1.
2.积的导数
法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。即
(uv)'=u'v+uv'
证明略。
从法则2立即可以得到，常数与函数的积的导数，等于常数乘以函数。即
(Cu)'=Cu' (C是常数)
3.商的导数
法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方。即
英国数学家大卫·艾奇逊在书中证明了幂函数的求导公式：
(xⁿ)'=nxⁿ⁻¹
公式中的n是常数，不仅可以是有理数，而且可以是任意实数，公式依然成立。
光的折射定律被称为正弦定律。费马发现正弦定律的详情请看下面的链接https://m.toutiao.com/is/KQD6KeBG59s/ - 百科漫谈：最短时间原理 - 今日头条
关于莱布尼茨的论文，德国数学家菲利克斯·克莱因在他的著作《高观点下的初等数学》里有精彩的论述，截图分享如下：
最后，简单介绍一下微分符号。
微分符号(signs for differentials)
表示求微分的符号．
图源《数学辞海》第六卷的数学符号史相关条目截图。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
来源：幻想家