摘要：概率分布可以理解为是一个描述可能结果的“地图”，告诉你某个结果发生的可能性有多大，帮你看清楚在一堆可能性中哪些结果更常见，哪些结果比较少见。

概率分布可以理解为是一个描述可能结果的“地图”，告诉你某个结果发生的可能性有多大，帮你看清楚在一堆可能性中哪些结果更常见，哪些结果比较少见。

举个例子：你平时点的外卖，通常会在30分钟左右送到，偶尔也会更快或更慢。假设我们画出你历史上点过的外卖的送达时间概率分布图。图中显示：大多数的送达时间集中在平均值附近（约30分钟），极少数时候还会远早于或远超预期时间。（比如极端天气、或是小哥在途中见义勇为…）

图中展示的就是一个典型的正态分布。概率分布告诉我们，在一系列结果的可能性中，哪些结果更常见，哪些结果更少见。

这就是概率分布的概念——展示某种事件出现的可能性大小。

理解概率分布可以帮助我们在各种随机事件中找到规律，在不确定性中做出更好的预估和决策。比如在统计分析时，根据数据分布选择适当的假设检验方法、在金融和保险市场通过了解数据的分布来评估和管理风险等等。

接下来我们一起看看几种日常生活中最常见的概率分布。

01

正态分布 (Normal Distribution)

这种对称的钟形曲线应该很眼熟了，它的特点是中间最高，两边逐渐降低。这就是我们身边最为常见的正态分布（也称高斯分布）。

正态分布代表了一种普遍的规律：大多数事物都集中在一个平均值附近，越偏离这个中心的极端事件越相对稀少。比如人群的身高、体重、智商等特征往往接近正态分布。

英国著名的统计学家高尔顿设计了钉板实验来形象地展示正态分布：

想象一个木板上有很多小钉子，从顶部放下的小球会随机向左或向右移动，最终落在底部的容器里。随着小球数量增多，大多数小球会落在中间的容器里，少数会落到两边，形成一个“钟形曲线”，即正态分布。

这表明，虽然每个小球的路径是随机的，但结果并不完全无序。因为左右移动的概率相等，大多数小球最终会集中在中间位置。正态分布展示了这种现象—— 大多数结果集中在平均值附近，极端情况较少出现。

这大概也是自然的平衡状态的一种反映：万事万物趋于中庸。

为了更好地理解各种概率分布，我们经常使用图表来直观地展示概率密度函数（PDF，通常用来展示连续数据的分布）或概率质量函数（PMF，通常展示离散数据的分布）来观察不同分布的特性，比如数据集中在什么位置以及数据的分散程度。

正态分布的概率密度函数（PDF）由以下公式给出：

其中，μ是平均值（mean), σ是标准差（standard deviation)。

曲线的形状完全由均值μ和标准差σ控制。（以下展示了不同均值和方差的分布曲线）

68-95-99.7规则

在正态分布中：

约68%的数据落在平均值加减一个标准差（μ±σ）范围内；

约95%的数据落在平均值加减两个标准差（μ±2σ）范围内；

约99.7%的数据落在平均值加减三个标准差（μ±3σ）范围内

在生产流程中，68-95-99.7规则经常用来判断流程稳定性。

如果某个部件的目标值偏离了平均值超过三个标准差，说明生产过程出了问题。举个例子，假设我们在生产线上罐装饮料，每罐饮料的目标容量是500ml，实际生产过程中存在一定微小误差。假设这些容量的误差服从正态分布：均值为500ml，标准差为5ml。

也就是说，当我们随机抽取一罐饮料，有68%的概率这罐饮料的容量会在500±5ml（495ml到505ml）之间。

通过采样和分析，如果大部分产品的容量都落在95%范围内（490ml到510ml），说明生产过程是稳定和可控的。反之如果有较多产品超出这个范围，就需要重新校准设备或调整流程。

中心极限定理（Central Limit Theorem）

中心极限定理是一条重要的统计学原则：当我们从总体中随机抽取多个独立且相同下的样本，这些样本平均值的分布会趋近于正态分布。

也就是说，不管原始数据的分布如何，随着样本数量的积累，最终都会趋向于一种有序和可预测性（听起来是不是有点像“无论过程多么混乱，最后总会归于平静”的人生哲学）

比如赌彩公司的盈利机制就利用了中心极限定理，保证即使彩票中奖分布是离散的或不规则的，累加起来的总奖金分布却是平滑的正态分布，让彩票公司能够在面对小概率事件（如头奖爆发），整体上依然能够维持盈利。

02

伯努利分布（Bernoulli Distribution）

伯努利分布（Bernoulli Distribution）描述只有两个可能结果的随机试验。

抛硬币就是一个典型的伯努利试验，它的结果服从伯努利分布：每次抛掷硬币时，结果只有两种可能——正面或反面。伯努利分布也是所有二项分布的基础。

伯努利分布的数学表达：

其中p是成功的概率（0 ≤ p ≤ 1）。

伯努利分布在许多实际问题中都有应用，尤其是在那些可以简化为“成功-失败”的二元结果场景中：比如在生产线上检测产品质量，每个产品要么合格（成功）要么不合格（失败），每次检测就是一次伯努利试验。

03

二项分布（Binomial Distribution）

如前面所说，每次抛硬币都是独立的伯努利实验。那么二项分布就可以理解为反复抛硬币，可以看作是多次伯努利试验的结果。

二项分布（Binomial Distribution）是描述 n次独立相同的伯努利试验中成功次数的分布。

二项分布的概率质量函数（PMF）可以用来计算在n次试验中成功k次的概率，数学表达式为：

二项分布的参数包括实验次数 n和每次实验成功的概率p。

举个例子，我们可以用伯努利分布描述用户是否点击广告的情况。某业务投放了一次广告给某个用户，用户的点击行为可以看作是一个伯努利试验（要么点击，要么不点击），该用户的点击行为服从伯努利分布，那么在n次广告的投放中（或是n个用户的点击事件），这些点击次数服从二项分布。

又比如某工厂每天生产100个产品，每个产品有5%的概率是次品，二项分布可以描述每天出现次品的数量分布；篮球运动员在一次训练中进行20次投篮，每次投中的概率为0.8，二项分布可以描述他投中次数的分布情况。

04

泊松分布（Poisson Distribution）

假设你注意到每天早高峰去咖啡店的顾客数量是随机的，有时候会突然来一大群人，有时候则没人光顾。

你开始好奇，在8点到9点这一小时内有25位顾客到达的概率是多少？这时泊松分布就能很好地回答这个问题。

泊松分布用于描述“在一定时间内发生了多少次事件”，特别适用于分析那些发生时间随机且独立的事件，比如每小时有多少辆车通过某个路口。

泊松分布在现实中有广泛的应用，尤其是那些涉及随机事件发生次数的场景，比如：

电话客服中心的呼叫量：如果某个客服中心平均每小时接到5个电话，那么在某个小时内接到k个电话的概率可以用泊松分布来估算；

交通事故的发生次数：可以用泊松分布来预测下个月某路段可能发生的事故次数；

罕见事件的发生：假设一家医院每天平均接收3个急诊病例，那么也可以用泊松分布来计算某天接收到2个或4个急诊病例的概率。

泊松分布的概率质量函数（PMF）定义如下：

其中X是随机变量，表示事件发生的次数。λ 是单位时间内事件发生的平均次数（即平均到达率）

随着λ值的增加，事件发生的次数的分布会向右移动，且分布的峰值也逐渐变宽。这意味着事件发生的次数增多且有更大的分散性。例如，当λ=9时，事件发生次数从0到10都有较大的概率，并且分布曲线的尾部比较长。

泊松分布广泛应用在资源配置优化方面的问题。比如呼叫中心在不同时间段接到的电话数量可能会有很大波动。管理者可以根据泊松分布的概率预测，判断在高峰期可能出现的电话需求来合理安排接线员的数量。

05

指数分布(ExponentialDistribution）

在统计学中，指数分布是一种重要的概率分布，用于描述时间间隔或事件间隔的概率。例如，假设你在某个公交车站等待公交车，公交车到达的时间间隔可以用指数分布来描述。指数分布广泛应用在生物学、工程学、物理学和金融学等领域。

回忆前面讲的泊松分布 ——

泊松分布描述的是在一个固定时间段内某个事件发生的次数。它关注的是事件的频率，指数分布描述的是两个事件之间的时间间隔。它关注的是事件的间隔时间。

简单来说，泊松分布是用来解决“在给定时间内，事件发生了多少次”的问题。比如在1周内接到多少次诈骗电话？在1年内，某个路段上发生了多少次交通事故？

指数分布则用来解决“两个连续事件之间的时间间隔有多长”的问题。比如两个电话呼叫之间的时间间隔是多少？两次交通事故之间的时间间隔有多长？

概率密度函数（PDF）:

其中参数λ 代表着平均发生率。

指数分布经常用于运筹优化。比如通过使用排队论中的指数分布模型，银行可以分析客户到达的情况以及平均等待时长，了解系统负载情况从而调整服务资源。

06

帕累托分布（Pareto Distribution）

举个例子，我日常80%的时间都在穿衣柜中20%的那几件衣服… 这其实就是我们熟知的帕累托原则！（28原则）

28原则是指在很多现象中，少数重要的因素（约20%）往往贡献了大多数的结果（约80%）。这个概念最先由意大利经济学家维尔弗雷多·帕累托（Vilfredo Pareto）提出。他发现，80%的财富掌握在20%的人手中，引出了帕累托分布。

帕累托分布为28原则提供了数学基础和理论支持。

帕累托分布还具有长尾效应，也就是说虽然大多数的事件或结果集中在“头部”（比如热门商品或常见事件），但还有一个很长的“尾部”，包含了大量的低频事件或小众商品。这些小众的部分虽然单个来看不太显眼，但总覆盖面也相当可观。

帕累托分布的概率密度函数（PDF）：

其中：x是随机变量，表示某一资源的大小（如财富、收入）Xm是最小可能值（通常大于0）；α是形状参数，决定分布的形状。

帕累托分布的期望值和方差取决于形状参数α的值。

帕累托分布帮助我们在分析和预测不均衡分布现象时更加准确，从而优化资源分配和业务决策。

以上就是6个数据分析中常见的概率分布。

数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯说过：“概率论是常识的延伸。”看似随机的现象背后都有着一定的模式。概率分布的作用正是体现现实世界的运行规律，让我们能更理性地面对不确定性。

参考文献

[1]Towards Data Science. “Waiting Line Models.” , 2024, https://towardsdatascience.com/waiting-line-models-d65ac918b26c.

[2]Padilla, José. “Dice, Dragons and Getting Closer to Normal Distribution: The Centra Limit Theorem.” , Minitab, 27 June 2020. https://blog.minitab.com/dice-dragons-and-getting-closer-to-normal-distribution

[3]Durrett, Richard. . Cambridge University Press, 2019.

[4]Weisstein, Eric W. “Normal Distribution.” .

[5]Wikipedia Contributors. “Binomial Distribution.” . Available at: https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution

来源：中科院物理所一点号