哈尔滨中考大题：圆，第三问较难，您敢挑战一下吗？先别看答案哟

摘要：能力提升的捷径：每做完一题，注意体会什么情况下用啥方法求解，总结自己在哪个环节卡了壳。

想提高能力，建议做一下哈题。

做哈题，不要被难缠的题干和复杂的附图所吓到。

能力提升的捷径：每做完一题，注意体会什么情况下用啥方法求解，总结自己在哪个环节卡了壳。

26.(10分)已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是⊙O的两条弦，AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P。

(1)如图1，若AB与CH交于点F，求证：∠HFB＝2∠EHN；

(2)如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证：MP＝AB；

(3)如图3，在(2)的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点R，连接RG，若HK:ME＝2:3，BC＝，求RG的长。

结合图形，快速、仔细读题，提炼关键字眼，从未知朝已知推。

他让证明“∠HFB＝2∠EHN”，其中的∠EHN是个圆周角，自然该想到“同弧(或等弧)所对的圆周角等于圆心角的一半”。即∠EON＝2∠EHN。

结合未知，往下该证∠HFB＝∠EON。

回头看哪些已知条件尚未用到。

两个垂直没用到。

遇到“圆”题中的垂直，注意考虑到直径所对的圆周角是90°、垂径定理、勾股定理等。

两个垂直暗示了点D和点K均在以OF为直径的圆上。即O、K、F、D四点共圆。

由圆内接四边形的外角知，∠HFB＝∠EON。如此而已。

您当然可以不用四点共圆的思路：四边形OKFD中内角和为360°，其中已知有俩直角共180°，则另俩角也互补即∠EON＋∠HFD＝180°，而由补角定义知∠FHB＋∠HFD＝180°，故∠HFB＝∠EON。再由同弧所对的圆周角和圆心角关系知∠EON＝2∠EHN。所以∠HFB＝2∠EHN。

有了思路，您注意锻炼快速书写卷面。

第一问当中没有“若”，所以第一问也相当于题干。

做题，注意利用上一问的结论。

第二问让证“MP＝AB”，建议从题干中给出的“∠EON＝4∠CHN”杀开血路。

∠EON是弧EN所对的圆心角，故∠EON＝2∠EHN。

而已知∠EON＝4∠CHN，故∠EHN＝2∠CHN。即如下图∠1＝∠2。

又已知CH⊥MN于点K，故∠4＝∠3＝∠5------①

由同弧MH所对的圆周角相等知∠4＝∠MEH------②

由①②知∠5＝∠MEH，故等角对等边ME＝MP。对照待证MP＝AB，只需证ME＝AB。

说明：刚才由∠1＝∠2和CH⊥MN直接得出∠4＝∠3，有点唐突。您最好写上易证得△HPK≌△HNK(ASA)。

欲证ME＝AB两弦相等，先看看哪些已知条件还没利用。OA⊥ME和AB⊥OE待用。这就够用了！

∵OA⊥ME，OM＝OE，∴由等腰三角形底边上的高平分顶角知∠6＝∠7------③

连接OB，∵OE⊥AB，OA＝OB，∴由等腰三角形底边上的高平分顶角知∠7＝∠8------④

③④两式相加得∠MOE＝∠AOB，故ME＝AB。又ME＝MP已证，所以MP＝AB。

第三问的解法一：

前两问的结论均可使用。他既然透露了HK:ME＝2:3，那就顺驴下坡设HK＝2t、ME＝3t＝MP(t＞0)。

马上就得出HK2＝MK×KN，这个式子古老的叫法是射影定理，现代由Rt△HKM∽Rt△NKH推出。则HK2＝(MP＋PK)×KN＝(ME＋PK)×KN，其中PK＝KN，即(2t)2＝(3t＋KN)×KN，故KN2＋3tKN－4t2＝0，(KN－t)(KN＋4t)＝0，故KN＝t＝PK，

故⊙O的直径为MN＝MP＋2KN＝3t＋2t＝5t，半径为，

则OP＝ON－2KN＝－2t＝，OK＝OP＋PK＝＋t＝，又MQ＝＝，

在Rt△OKC和Rt△MQO中，OC＝MO，OK＝MQ，故Rt△OKC≌Rt△MQO(HL)，∴∠COK＋∠MOQ＝90°，则∠AOC＝90°，故∠AHC＝∠AOC/2＝45°，又HK⊥MN已知，则△RHK为等腰直角三角形，RK＝HK＝2t，则OR＝RK－OK＝2t－＝，而已求得OP＝，故OR＝OP----①

由∠AOC＝90°及OA⊥ME得OC∥MN，则同位角∠OGP＝∠MEH，而同弧MH所对的圆周角∠MEH＝∠MNH，故∠OGP＝∠MNH，由第一问知∠MNH＝∠HPN，则∠OGP＝∠HPN，又对顶角∠HPN＝∠OPG，故∠OGP＝∠OPG，所以OG＝OP----②

由①②知OR＝OP＝OG，故△RGP为直角三角形，且斜边RP＝2OP＝2×＝t、tan∠RPG＝tan∠HPK＝HK:PK＝(2t):t＝2，则Rt△RGP的三边之比为RG:PG:RP＝2:1:，故RG＝RP÷×2＝，往下只需求t。当然要用到BC＝。圆周角∠AHC＝45°也有用。