摘要：定理证明的桥梁许多重要定理（如Fubini 定理、Lebesgue 控制收敛定理等）的证明通常先对简单函数成立，再通过逼近方法推广到一般函数。例如：在 Fubini 定理中，先证明简单函数的重积分与逐次积分相等，再利用单调收敛定理或控制收敛定理扩展到非负可测函
在测度论和实分析中，简单函数是一种结构简单但非常重要的函数，是构建复杂函数的基础。它的定义和性质如下：
简单函数是测度论和积分理论的基石，主要作用体现在以下方面：
3、定理证明的桥梁 许多重要定理（如 Fubini 定理、Lebesgue 控制收敛定理 等）的证明通常先对简单函数成立，再通过逼近方法推广到一般函数。例如：在 Fubini 定理中，先证明简单函数的重积分与逐次积分相等，再利用单调收敛定理或控制收敛定理扩展到非负可测函数或可积函数。
在实变函数中，容易混淆简单函数与阶梯函数（Step Function），二者的区别如下：
简单函数：分割的集合是任意可测集（如勒贝格可测集），不要求是区间；阶梯函数：分割的集合是有限个区间（或区间的并），是简单函数在欧几里得空间 R^n中的特例。 阶梯函数一定是简单函数，但简单函数不一定是阶梯函数（例如用分形集构造的简单函数）。简单函数通过其有限可测分割的特性，将复杂的函数结构分解为基础单元，使得积分和测度的分析变得可行，是现代分析中不可或缺的工具。
其中
来源：万物皆有源一点号