摘要：话说：在古希腊，有一位将军，他每天都要放哨，放哨后再去河边饮马，然后再回到军营。
这篇我们说对称
01
将军饮马
在初中数学里，有一个被广泛传播的模型：将军饮马。
何为将军饮马？这里有个故事。
话说：在古希腊，有一位将军，他每天都要放哨，放哨后再去河边饮马，然后再回到军营。
每天的路程都是三点两线，为了省事，他提了一个好问题：怎样才能让我每天走的路程最短？
带着这个问题，他请教了当时的数学家海伦——你看，这个将军是个明白人，他知道到何处找答案。
海伦（就是海伦公式的海伦）发动自己的超级大脑，通过反射原理解决了这个问题。
那么，咱就展开说说反射原理。
看下图，A是放哨的地点，B点是军营，也就是说A、B都是固定的，不能改动。
那么要使路线最短，我们必须在xy这条河上找一个点饮马，让总路程最短。
这个点找在什么位置呢？
我们知道两点之间直线最短，很容易想到点APB在一条直线上，路径就最短。
我们就假设A发出了一束光，到达河面反射到了B，穿过河面就到了B'.
此时，反射点为P，PB＝PB'，APB'在一条直线上，AB'的连线交河xy于点P。
在P点饮马，总路线路线就最短。
这就是利用了反射原理——那时候这么叫，现在我们的课本上叫“对称”。
B和B'是关于河xy对称的。连接AB'，交河xy于点P。根据对称的性质，PB＝PB'。那么P点就是我们要寻找的点。
02
对称思维
将军饮马衍生出很多模型。
什么两定一动、两动一定、两动两定、平移、架桥、线段差等等。
这么多模型，其实学生很难分辨：
看到题目，我怎么对应模型？题目多变，我对应正确了吗？我迷糊了，算了这题不做了。这就是记技巧的后果。
技巧很多，是记不完的，我们掌握的是思维方式。
掌握思维方式是以不变应万变。或者在掌握思维的基础上，你再去琢磨一些技巧，才能【打准】。将军饮马其实是对称思维的衍生品。
没错，对称是一种思维，它更重要。
我们要深刻理解它、运用它——这之后，其实你不需要记模型。
我们来试试看。
上面这2道题，求两个线段相加的最小值。
路数都一样。
直觉上，三点一线最短；想办法把这三点弄到一条直线上；找到一个点的对称点，利用对称等价代换一条直线；然后连接初始点和对称点，我们就找到目标线段了。这里的根本是：你利用对称，把另外一条线段做了等价代换。
无论什么模型，抓住这一点。
03
举例
看下面这种，所谓的“两动一定”型。
别管它怎么动，怎么定，就看题目让你求什么。
求三角形周长最小值。
直觉上，还是把三条边放一条直线上周长最短；利用对称，把其他两个边做等价代换。对称点，就找定点的对称点（直觉），动来动去找对称太麻烦。这么一做，关系出来，问题也就迎刃而解了。
再看所谓的平移。
下面这一题，MN长度是固定的，A点为固定点。
我们还是用对称思维。
周长最小，也就是MN➕A N➕AM最小，MN已知，等价于AN➕A M最小。
直觉上还是要让这些点在一条线上。我们先把AM等价代换，作A的对称点A'，连接A'M。为了让它们共线，我们得让N跟M接在一起。于是我们把AN平移过去到M点，形成平行四边形。这样DM就等价于AN了。连接A'D，交BC于M点，DM=AN，A'M=AM,A'D即为所求。这里需要等价两条线段，本质上还是利用对称，只不过多了一个平移——用平移来等价另一条线段。
来看看两定两动。
这种通常在四边形中。如下图。
B点和D点是固定的，F点和E点是运动的。
求四边形BDEF周长的最小值.
BD和EF都是固定的，也就等价于求BF+DE的最小值。
其实跟上一个平行的一样。
我们先做D点关于x轴的对称点D'。
连接D'A延长交BC于B'.
根据平行的性质，BF=B'A，线段B'D'即为所求线段。
你看，还是利用对称找等价线段，另外一条用平行来等价——为什么用平行？
因为平行可以平移；平移就意味着移动；移动了就能够把点移到一条直线上。我记不住模型，但是我知道对称是如何使用的。
所以，就以不变应万变。
下面再看看难一些，所谓的搭桥，其实都是大差小不差。
如果你单记模型，很容易搞混的。
但你记住一些底层的规则和思想，就更容易应变。
首先，在一条线上最短，想办法把AC和BD弄一条线上——平移。其次，平移后找A'的对称点A''，把AC=A'D等价为A''D.最后，A''B就是所求。还是我们上面说的那些。
利用对称，利用三点一线这些更底层的知识来解决问题。
如果你还不死心，我们再看看，更难的【线段相减】问题如何用对称解决。
如下图，无论是点AB在直线同侧还是异侧，绝对值最小，就两个点，作这两个点连线的垂直平分线，交直线于一点，这点就是所求点。
PA=PB了都，相减等于0，你说小不小。
PA-PB的值最大，无论同侧还是异侧，我们假设直线上有一点P,跟AB构成了三角形。
那么PA-PB，就是两边之差，两边之差小于第三边。
要使PA-PB的值最大，那就是两边之差等于第三边，最大。
这时候还要把它们三点弄到一条直线上。如果A和B在同侧，连接AB并延长，延长线与直线的交点，就是我们要找的直线上的P点。如果A和B在异侧，我们就要利用对称，把B弄到A的那一侧去，然后再连接AB'。你看，还是这么回事——三点一线+对称。
到这里，我们总结一下：
我带你看了将军饮马的诸多模型，其实到底如何对应，我也不知道。遇到题目我根本分不清。
但我知道更本质的东西——对称。
利用对称等价一些边，让参与的点在一条直线上，抓住这个原则，以不变应万变。
最后：不要沉迷于技巧，找到现象背后的东西。
技巧太多了，记不完。
掌握思维，到高中类似的题目还是这样解决。
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来源：宝妈丽丽在修行一点号
