摘要：=5\cos x - \cos5x在[0,\frac{\pi}{4}]的最大值：首先，对f(x)求导，根据求导公式(\cos x)^\prime=-\sin x，(\cos(ax))^\prime=-a\sin(ax)，可得f^\prime(x)=-5\sin
高考数学原题
答案
f(x) 在 [0, \frac{\pi}{4}] 上的最大值为 3\sqrt{3} 。得证。b 的最小值为 6 。解析
（1）求f(x)=5\cos x - \cos5x在[0,\frac{\pi}{4}]的最大值：首先，对f(x)求导，根据求导公式(\cos x)^\prime=-\sin x，(\cos(ax))^\prime=-a\sin(ax)，可得f^\prime(x)=-5\sin x + 5\sin5x。由三角函数的和差化积公式\sin A-\sin B = 2\cos\frac{A + B}{2}\sin\frac{A - B}{2}，则f^\prime(x)=5(\sin5x-\sin x)=5\times2\cos3x\sin2x = 10\cos3x\sin2x。当x\in[0,\frac{\pi}{4}]时，\sin2x\geqslant0。令f^\prime(x)=0，即\cos3x = 0，则3x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z，在x\in[0,\frac{\pi}{4}]的条件下，x = \frac{\pi}{6}。当x\in[0,\frac{\pi}{6})时，\cos3x>0，f^\prime(x)>0，f(x)单调递增；当x\in(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}]时，\cos3x然后计算端点值和极值：f(0)=5\cos0-\cos0 = 5 - 1=4；f(\frac{\pi}{6})=5\cos\frac{\pi}{6}-\cos\frac{5\pi}{6}=5\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}；f(\frac{\pi}{4})=5\cos\frac{\pi}{4}-\cos\frac{5\pi}{4}=\frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}。比较4，3\sqrt{3}，3\sqrt{2}的大小：4=\sqrt{16}，3\sqrt{3}=\sqrt{27}，3\sqrt{2}=\sqrt{18}，所以f(x)在[0,\frac{\pi}{4}]上的最大值为3\sqrt{3}。（2）证明存在y\in(a - \theta,a+\theta)，使得\cos y\leqslant\cos\theta：令g(x)=\cos x，g(x)是偶函数，且g(x)在[0,\pi]上单调递减。考虑区间(a - \theta,a+\theta)，分情况讨论：若a\in[-\theta,\theta]，则当y = \theta（当a\geqslant0）或y=-\theta（当a若a>\theta，g(x)在[0,\pi]上单调递减，g(a+\theta)-g(\theta)=\cos(a + \theta)-\cos\theta=-2\sin\frac{(a + \theta)+\theta}{2}\sin\frac{(a + \theta)-\theta}{2}=-2\sin(\frac{a + 2\theta}{2})\sin\frac{a}{2}。因为a> \theta>0，\sin\frac{a}{2}>0，\sin(\frac{a + 2\theta}{2})可能大于0，但g(x)在[a-\theta,a + \theta]上连续，且g(x)在[0,\pi]单调递减，g(a+\theta)\leqslant g(\theta)，由介值定理可知，存在y\in(a - \theta,a+\theta)，使得\cos y\leqslant\cos\theta。若a \theta>0，g(-( \theta - a))\leqslant g(\theta)，由介值定理可知，存在y\in(a - \theta,a+\theta)，使得\cos y\leqslant\cos\theta。（3）求b的最小值：已知存在t使得对任意x，都有5\cos x-\cos(5x + t)\leqslant b，则b\geqslant(5\cos x-\cos(5x + t))_{\max}。因为\vert5\cos x-\cos(5x + t)\vert\leqslant\vert5\cos x\vert+\vert\cos(5x + t)\vert\leqslant5 + 1 = 6。当5\cos x = 5且\cos(5x + t)=-1时，5\cos x-\cos(5x + t)能取到6。所以b的最小值为6。综上，（1）f(x)在[0,\frac{\pi}{4}]上的最大值为3\sqrt{3}；（2）得证；（3）b的最小值为6。
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