摘要：在童年的某个时刻，我们开始去捕捉事物、数它们，并把它们归为一类。糖果、水果、玩具、工具、白天、黑夜……——我们很快学会，在脑子里记住、或在纸上记录，在哪个口袋、抽屉、箱子、盒子、纸条上有多少“东西”。这是我们生命早期的时刻，我们凭直觉开始将这些由“元素”组成的

“数学的本质在于它的自由。”——格奥尔格·康托

在童年的某个时刻，我们开始去捕捉事物、数它们，并把它们归为一类。糖果、水果、玩具、工具、白天、黑夜……——我们很快学会，在脑子里记住、或在纸上记录，在哪个口袋、抽屉、箱子、盒子、纸条上有多少“东西”。这是我们生命早期的时刻，我们凭直觉开始将这些由“元素”组成的集合抽象成“集合（sets）”。

人类学家告诉我们，狩猎与采集大概是早期人类社会的主要生存策略，可追溯到大约180万年前的直立人，以及约20万年前出现的智人。从这个角度看，人类似乎在进化的早期阶段，就已经发展出一种心理与社会能力，可以将“可数之物的集合”抽象化——并且，凭借想象力的力量，去抽象那些“不可数之物”或“无限”。

人类学家已经证实，不加分类地感知数量并对物体进行简单计数，这种能力在灵长类的认知范围内，比如黑猩猩也能做到。然而，要能抽象出“可区分的可数集合”，则需要更高级的认知能力，并且很可能需要一定的社会能力，以便建立起“规则”。这与文化的根本问题有关——法国人类学家列维-斯特劳斯曾广为引用的观点指出：文化的开端，标志在于行为由规则引导，而非仅由生物本能驱动。

对一组物体的数量进行认知和表示，不仅仅是人类的能力，灵长类也能做到。比如，一只母黑猩猩被教会将阿拉伯数字符号与最多七个物体的数量对应起来。

在今天的数学概念里，我会将桌上的四个水果所构成的可数集合 S 抽象为：

这是一个有4个元素的集合。而代表集合 S 中元素总数的这个数字 4，在数学中被庄严地称为集合 S 的“基数”（cardinality）。用数学符号，写作：

同样地，把我双手手指的可数集合 F：

这个集合一共有10个元素，因此它的基数是10：

事实上，古埃及人也发明了一个数字系统，使用不同的象形文字表示 1、10……并且惊人地将所有10的幂一直延伸到一百万以上。来自卡纳克（约公元前1500年）的石刻（见下图左）显示了数字 276：即两个百位、七个十位与六个个位；类似地，数字 4,622 则表示为四个千位、六个百位、两个十位与两个个位。

巴比伦人同样有表示 1 和 10 的符号，不过他们采用的是六十进制。数字 60 的符号与数字 1 相同，但其数值由具体语境来决定。

从人类学的角度看，对可数集合中越来越大的数字的追逐，大概与人类对“无限”形式的深层渴望相关，这种无限是无尽、永恒、神性与不朽的抽象化。无限的概念源自智人的独特能力——能够想象与抽象。这种能力是进化中一次根本性的认知飞跃所带来的成果。我们的物种，不仅像许多类人猿祖先那样，去狩猎和采集现实中的物品（例如生存所需的食物），还专门去“采集”那些“不真实之物”：无理数、虚构、幻想、神话、不可及的事物，乃至无限。

从这个立场来看，我相信，即便是今天最严谨的数学无限概念，其根源也仍在于超越个体简单计数与分组的文化抽象能力。换句话说，我们并不是唯一能计数、能分组、能狩猎和采集的物种，但我们独有的能力在于抽象出“无限”的概念。

但是，集合论告诉我们的远不止这些。自然数集合 ℕ 是一个非有限集合，它允许我们将数的计数不断延伸、不断增长，直指无限：

通过定义 ℕ，我们不再只是满足于对无限的想象，而是试图在数学上具体化这种无限的抽象，并带着好奇去追问：

自然数集合 ℕ 的基数是多少？

因为自然数集合被设想并定义为非有限的，所以它的基数不可能是具体某个数。这会是个问题吗？——对“数学人类”（Homo mathematicus）而言，这一点也不成问题。为了让我们摆脱这个逻辑套索，我们引入一个新的符号来表示这种基数：ℵ₀（希伯来字母 Aleph，下标 0）：

必须强调的是，ℵ₀ 是一种表示的概念，而不是某个具体的数值。一个集合被称作基数为 ℵ₀，当且仅当它的元素可以与自然数集合 ℕ 建立一一对应。这与“可数集合”的定义完全相同。例如，整数集合 ℤ：

我们可以严格证明，它与自然数集合 ℕ 之间存在一一对应关系：

惊讶吗？——即使乍看之下像魔术，但它完全成立。欢迎来到 ℵ₀ 的王国。这个映射过程在数学中称为双射（bijection），它的必要性在于避免一个直觉陷阱——有人会去数 ℤ 中“数值的大小”，而不是去数 ℤ 中“没有数值属性的中性元素”。我们在 ℤ 中数的是“元素”（+1 这个元素），而不是“数值”+1。这个“元素”的地位，就像我们在集合 S 中的一个苹果或一个橙子，而“数值”则是在某个语境下的解释，比如“一只苹果比两只苹果少”。——许多作者认为这种映射反直觉；而我认为，这种“反直觉感”只是源于一种误解：集合里数的是元素，而不是数值。

同样地，虽然需要更多的数学技巧，我们也可以证明有理数集合 ℚ 也是可数的，基数同样是 ℵ₀。——回忆一下，有理数是形如 p/q 的数，其中 p 与 q 都是整数，且分母 q ≠ 0。

进一步，我们可以提出一个有趣的问题：

既然自然数集合 ℕ 的基数是 ℵ₀，那么自然数集合所有子集的集合，它的基数是多少？

在数学术语中，集合 S 的所有子集构成的集合称为 S 的幂集（power set），记作 (S)。我们要确定的，是自然数集合 ℕ 的幂集 (ℕ) 的基数，也就是 ℕ 这个集合的“势”（德语 Mächtigkeit）。

要确定 (ℕ) 的基数，我们需要求助于格奥尔格·康托（Georg Cantor）及他在集合论中证明的一个基本定理：对于任何集合 S，幂集 (S) 的基数严格大于集合 S 本身的基数：

对于有限集合，康托定理很容易用计数来验证。例如，若集合 Sₙ 有 n 个元素，那么它的子集总数为 2ⁿ（包括空集）。因此，康托定理成立，因为对所有非负整数 n 都有：

同理，我们可以将康托定理应用于整个自然数集合 ℕ，得到：

有了 (ℕ) 的基数，我们就具备了一切去回答下一个问题：

实数集合 ℝ 的基数是多少？

为了确定实数集合 ℝ 的基数，我们先从乔治·康托在 1891 年论文《论多样体理论中的一个基本问题》中提出的一个“游戏”开始。这个游戏被称为对角线论证（diagonal argument），它提供了一个数学证明，表明存在某些无限集合，它们无法与自然数集合建立一一对应。这类集合显然是不可数的，因为它们的元素比所有正整数还要多。实数集合 ℝ 正是其中之一。

在数学中，提出一个问题的艺术，比解决它更为重要。——乔治·康托

在康托的这个“游戏”中，我们关注实数集合中的一个特定无限子集 ℝ₀₁，即所有介于 0 与 1 之间的实数：

我们想要判断，这个非有限子集 ℝ₀₁ 是否是可数的。为此，我们任意从中选出十个或更多元素，把它们列在一个清单 中，并让它们与自然数配对：

接着，我们将第一行数字的小数点后一位标红；第二行数字的小数点后第二位标红；以此类推，第 n 行数字的小数点后第 n 位也标红：

然后，我们提取所有标红的数字：

检查每个数字是否小于或等于 9。若数字小于 9，则加 1；若等于 9，则将其替换为 0：

在我们的例子中，所有标红的数字都小于 9，所以我们给每个数字都加了 1。然后，用这些新得到的数字构造一个新的 0 到 1 之间的实数：

这个特殊的数字，是从原来的清单 中按照一种方式构造出来的，使得它绝不可能出现在 的前十行中。同样地，即使我们把 扩展到第 n 行，依然能用同样的方法构造出一个不在这 n 行里的实数。

这个简单的推理可以从 ℝ₀₁ 推广到整个实数集合 ℝ。也就是说：

无论我们设想出怎样一个可数的实数清单 ，总能构造出一个不在其中的实数。因此，任何这样的清单都是不完整的——换言之，实数集合 ℝ 是不可数的。

数学上，我们说在 ℝ 与 ℕ 之间不存在双射。到此为止，我们已经有了一切去回答先前的问题：

自然数集合 ℕ 的所有子集的集合 (ℕ) 的基数是多少？

为回答这个问题，我们可以把 ℕ 的每个子集看作一个可以表示二进制小数的指标函数（indicator function）。我们先引入指标函数 ᴬ：

对于 ℕ 的任意子集 A，定义指标函数 ᴬ 为：对任意自然数 n，若 n ∈ A，则 ᴬ(n) = 1；若 n ∉ A，则 ᴬ(n) = 0。数学上可表示为：

直观上，ᴬ(n) 用来“指示”元素 n 是否属于子集 A。我们可以把它想象成在构造一个二进制数，每一个比特位对应一个自然数是否包含在所选子集中。举个例子，取子集 A：

构造 ᴬ(n)：

取 n 从 0 到 4 的这些值，我们得到二进制数：10101

我们从最低有效位，或者说“最右侧”的那一位开始，然后像读十进制数字那样自左向右读取。如果把这个序列当作一个二进制小数来看：

一般而言，这样的小数表示一个二进制分数，其中每一位的位值都是 1/2 的幂（1/2、1/4，等等）。对 ℕ 的任意子集进行这种二进制解释，可以把它们直接映射到 0 与 1 之间的实数，并可被视为沿着自然数的无限序列进行延展。

在本例中，对于 = .10101们可以归纳如下：

把这些相加，我们得到：

.10101 = (1/2) + 0 + (1/8) + 0 + (1/32) = 21 + 0 + 81 + 0 + 321 = (16/32) + (4/32) + (1/32) = (21/32)

因此，二进制小数 .10101 对应于十进制分数 (21/32)。

这个例子表明，ℕ 中被包含在子集里的每个元素，都会在由其位置决定的某一位上对二进制小数作出贡献；而所得分数又如何可以把 ℕ 的任意子集唯一地表示为 0 与 1 之间的一个实数。理论上，ℕ 的每个可能子集都可以以这种方式与一个二进制小数唯一对应，进而表示实数轴上区间 [0, 1] 的一个点。

显然，通过把 ℕ 的每个子集视作表示二进制小数的一个指标函数，幂集 (ℕ) 与全体实数集合 ℝ 之间存在一一对应。因此，(ℕ) 与 ℝ 之间存在一个双射，确认它们共享相同的不可数的无限基数：

实数集合 ℝ 的基数用字符 表示，代表“连续统（ontinuum）”。由于 （ℝ 的基数）就是幂集 (ℕ) 的基数，而这个幂集的基数大于 ℕ 的基数，我们便可简单地得到结论：

我意识到，在这一尝试中，我把自己置于与关于数学无限的广泛持有的观点，以及关于数的本性所常被辩护的意见相对立的位置。——格奥尔格·康托

到此为止，我们一直在研究不同数集的基数，并且可以相对于自然数集合 ℕ 的基数 ℵ₀ 来对它们进行刻度。然而，现在我们想要转个方向，构造一个其基数我们将界定为 ℵ₁ 的集合。如果我们能成功做到这一点，那么或许就可以开始把不同类型的“无限”按不同尺度的基数层级进行分类：

为容纳无限序列并分类派生的集合，格奥尔格·康托在 1883 年把集合论中的“序数”（ordinal numbers）这一数学概念引入进来。序数（ordinal number，或 ordinal）可以理解为对“序数词”的一种推广，以便把枚举扩展到无限集合。请允许我一步一步解释。

我们可以通过依次用此前未被使用过的最小自然数标记每个元素，来枚举一个有限集合的元素。例如，集合：

为了把这一过程广泛应用到无限集合，这类序数词被康托聪明地推广为序数。

为表示他所推广的序数，康托使用线性有序的希腊字母作为变量。这些变量有两个重要性质：

例如，我们可以用记号 ω（欧米伽）来定义一个序数，它是一个大于每个自然数的最小元素。

然后，序数 ω 之后可以跟着更大的序数 ω+1，接着是更大的序数 ω+2，如此继续。

继续下去，在某个时刻我们将到达序数 ω+ω，我们将其用数学记号 ω·2 表示；随后在某个时刻会到达 ω·3，如此继续，直到 ω·ω，我们把它用数学记号 ω² 表示。

如果我们继续这种推进，将得到如下的模式：

数学家 Jochen Burghardt 用一幅如画的数字螺旋对这一推进做了创造性的示意。

我们还可以想象把这个螺旋反转并拉伸到第三维，成为一座无限高的塔：超限数学之塔（见下图）。

被拉伸成超限数学之塔的数字螺旋。——向上移动（更高阶）意味着对幂集与并集运算的迭代；向外移动（更宽的三角形）描绘了每一阶段集合数量的爆炸式增长（本文稍后将进一步解释）。

该图显示了这一景观是如何迅速把算术抛在身后，随后又超越可数方法，甚至超越 ZF 或 ZFC（含选择公理的策梅洛–弗兰克尔集合论）所能保证的范围。当前集合论研究正在探索新的公理，以处理位于这里的那些基数。最小的此类基数，其存在性目前仍然不可达。一个“不可达基数”是不可数的、正规（regular）的，并且是强极限（strong limit）的。它的存在无法在 ZFC 中被证明。

加强公理以构造此类基数，会打开整个宇宙更高的楼层，这些在现代的大基数研究、内模型理论与描述集合论中得以运用。更高处的一切——弱紧（weakly compacts）、马洛（Mahlo）基数、伍丁（Woodin）基数、超紧（supercompacts），……——都需要额外的公理，其一致性远远超出普通数学。康托关于超限数的乐园坐落在这座塔的内部，而哥德尔的可构造宇宙 则会是一根穿过其中心的纤细立柱（本文稍后将进一步解释）。强制扩展会把轮廓推进得更为宽广。因而这张图用一个不断上升的刻度，捕捉到了现代集合论的中心叙事：

公理究竟能带我们走多远，我们又必须添加什么才能攀得更高？

全体可数序数组成的集合记作 ω₁，可以表示为：

用更简洁的数学记号，我们可以简单地写为：

意味着 ω₁ 是所有满足“α 是可数的”这一条件的序数 α 的集合。

不过，请谨慎以免误解：尽管 ω₁ 中的每个序数 是可数的，但全体可数序数的集合 ω₁ 本身是不可数的。

现在请记住，我们是从零开始构造集合 ω₁ 的，使得你可能选择的 ω₁ 的每个子集都拥有一个最小元素。与这一性质等价的，是数学术语中我们所说的：集合 ω₁ 是良序的。

这意味着我们完成了如下构造：一个良序的集合 ω₁，它是最小的、但却是不可数的序数。

这个由全体可数序数组成的集合 ω₁ 尤其重要，因为它证明了：我们可以不依赖类似实数这样通常用于展示不可数性的对象，也能得到一个不可数集合。相反，ω₁ 是一个完全由“次序”这一理念所定义的集合。集合 ω₁ 超出了可以被可数列出的范畴，但它仍然是严格构造且数学上良好定义的。

现在，我们可以用这一设置来刻画一个独立于实数集合的新基数尺度。集合 ω₁ 的基数在无限的层级体系中被定义为 Aleph 一（ℵ₁），它表示最小的不可数基数。

显然，我们可以展示：无限是可以有层级的，而且不同层级的抽象对应着不同的尺度；用数学术语来说，就是不同的基数 ℵ₀、ℵ₁ 与 。

我们已经确立：按定义，ℵ₁ 是任何不可数集合的规模，但它仍然小于所有其他不可数集合；但是，

我们实际上谈论的是哪些“其他不可数集合”呢？

让我们考察一些这样的“其他不可数集合”的例子。

i) 实数集合 ℝ，我们已经讨论过，它的基数为：

ii) 全体 ℝ 的子集所成的集合，称为 ℝ 的幂集，记作 (ℝ)，它的基数为：

这是一个基数大于 ℵ₁ 的不可数集合的例子。

iii) 从 ℝ 到 ℝ 的全体函数所成的集合，是另一个不可数集合。它的基数记为：

表示一个比实数集合大得多的不可数集合。

iv) 更高的基数，如 ℵ₂、ℵ₃，等等——基数层级延伸到 ℵ₁ 之外；例如，ℵ₂ 是一个严格大于 ℵ₁ 的基数，而 ℵ₃、ℵ₄ 等则依次更大。这些不可数集合可以在集合论中被构造出来，用以说明在“不可数性的层级”中有许多不同的层次。

一个基数为 ℵ₂ 的集合的例子，是全体小于 ω₂ 的序数之集合，其中 ω₂ 是第一个基数为 ℵ₂ 的序数：

这个集合是良序的，并包含所有小于 ω₂ 的序数。根据定义，这个集合的基数为 ℵ₂，因为它是直到第一个基数为 ℵ₂ 的序数为止的全体序数的集合。这个例子进一步推广了这样的思想：全体小于 ω₁ 的序数之集合的基数为 ℵ₁。

虽然不可能把 ω₂ 完整可视化，因为它是无限的，并包含不可数的序数，但我们可以把集合 ω₂ 想象为序数序列的延伸，起始于：

以上这些例子中的所有不可数集合有一个共同点：它们的基数都严格大于 ℵ₁。然而，没有任何一个集合可以被证明严格小于：

这就是实数集合 ℝ 的基数。

在我们当前的标准集合论框架内——即包含选择公理的策梅洛–弗兰克尔集合论（ZFC）——并不存在一个已知的例子，能证明某个不可数集合的基数严格大于 ℵ₁，但又小于实数的基数 2^(ℵ₀)。这正是所谓“连续统假设”（Continuum Hypothesis, CH）的核心所在：

因此，并且按定义，ℵ₁ 是任何不可数集合的大小，但仍然小于其他不可数集合，比如实数集合——除非假定连续统假设为真。

但是，什么是连续统假设？

连续统假设断言，在 ℵ₀（自然数的基数）与 （实数的基数）之间不存在任何一个基数。简言之，连续统假设假设性地断言：

如果连续统假设为真，那么实数集合 ℝ 的基数就恰好是 ℵ₁。这同样意味着，不会存在其基数严格介于 ℵ₁ 与 之间的集合。

连续统假设被认为是希尔伯特所列 23 个未解决问题中的第一题。1900 年 8 月 8 日，希尔伯特在巴黎索邦大学举行的国际数学家大会上提出了这道题，作为他演讲中十个问题的第一道。随后，他在 1902 年《美国数学会会刊》的英文译文中发表了完整的 23 题清单；不过，更早的一篇德文原文则发表在《数学与物理档案》中。

几十年后，德国数学家 Kurt Gödel 与美国数学家 Paul Cohen 通过他们的工作，分别独立地展示了一个有趣的事实：连续统假设独立于标准集合论 ZFC 的公理。

其中，Gödel 在 1940 年展示了连续统假设不能从 ZFC 公理中被否证，而 Cohen 则在 1963 年展示了它也不能从 ZFC 公理中被证明。

这意味着，如果使用标准集合论的公理，连续统假设既不能被证明，也不能被否证。

因此，连续统 是否等于 ℵ₁，取决于你选择采纳的特定集合论框架与附加公理。然而在标准集合论 ZFC 中，如果不加入额外公理，它仍然是一个开放的选择。

换句话说，是否存在一个基数介于 ℵ₀ 与连续统 之间，取决于你所选择工作的公理系统。实际上，在某些集合论模型中，连续统假设被设为真，而在另一些模型中，它被设为假。

在康托的花园乐园中，Gödel 与 Cohen 现身为同一个咧嘴而笑的小恶魔，晃动着“选择”的苹果打趣道：“来吧——挑一个合你心意的无限大小吧。”

在我们更深入地进入 Gödel 与 Cohen 的“魔鬼领域”之前，请允许我提及一篇文章，《Mathematics’ Haunted House of Shadows: How Higher Dimensions Project into the Worlds We Measure》，在这篇文章中，作者讨论了低维数据如何表现为更丰富结构与高维世界的影子，解释了：对同一数学对象的不同视角下的几何阐释，如何能够帮助我们理解为何在同一个对象上会共存不同的解释模型，例如从准晶、超卡塔兰数与超越数，到微积分、范畴论以及……康托的基数。它常常是我们选择的模型与基础所决定的逻辑结果。

一个旋转的三维立方晶格：在关于一个无理平面的狭窄“窗口”内选取落入其中的格点切片，然后把这些点压平成该平面上的投影，直到在最后一刻，你得到的是非周期性的二维影子。

沿着这种关于视角变化的精妙隐喻，我们可以更进一步，尝试为 Gödel 与 Cohen 对康托乐园的“魔鬼入侵”阐述一种可能的、在结构上更为严谨却仍然是比喻性的几何类比。我必须坚持：它或许永远不会是像 ℝ³ 那样的字面几何，但在数学的领域里，范畴论、拓扑斯理论与层模型或许允许我们把公理视角的改变建模为几何上的变换。

从康托为我们创造的乐园中，没人能够把我们驱逐出去。——David Hilbert

为了进一步探索这一点，请允许我带你在现代数学宇宙中做几次小小的远足。

第一：把公理化的世界当作几何空间中的点——我们可以把每个集合论（或类型论，或逻辑）的模型看作某种模空间中的一个点——这个模空间被理解为所有“可能世界”的空间，其中 ZFC（或某个基础理论）成立。于是，连续统假设成为这片空间上的一个谓词：

当然，这样的模空间并非欧式的，而是一个抽象的逻辑空间。事实上，这一理念恰好由格罗滕迪克的拓扑斯以及它们之间的几何态射所刻画。这些工具让我们可以为逻辑或集合论世界的变更赋予几何结构。

第二：关于层拓扑斯与强制的几何类比——Paul Cohen 的强制方法，在几何逻辑中，可以被理解为与层的基变换相对应：Cohen 的原始模型 V 对应于一个拓扑斯 ，而强制给出一个新模型 V[G]，它对应于一个拓扑斯 ′，该拓扑斯纤维化地覆盖在原先的拓扑斯之上；因此，这种变换通过拓扑斯之间的几何态射形式化。

于是，关系 = ℵ₁ 与 > ℵ₁ 可以被解释为基拓扑斯的改变——颇有点像微分几何中改变坐标图，或在纤维丛中切换视角。因此，我们可以把强制视为一种拓扑斯理论中的基变换。我们可以把宇宙看作一个丛，每一个宇宙纤维是一个集合论模型，它们悬垂在逻辑条件的基空间之上。那么，CH 在某些纤维中为真，在另一些纤维中为假。切换纤维就像是在一个逻辑的几何空间里移动。

第三：对投影与影子的更具体类比——另一种也许更具视觉清晰性的几何类比是投影：设 是一个包含 ℵ₁ 与 的高维结构，并具有多种集合论性质，然后把这个结构投影到：

在这个类比中，投影代表对一个子模型（Gödel 的可构造宇宙 ）的限制，或一个强制扩展。我们事实上会依据投影看到更多或更少的结构。这会模拟出这样一种情形：某些较低维度的影子能把本来不同的点塌缩为一个，比如 ℵ₁ 与 ，反之亦然。

第四：同伦类型论（HoTT）与“按形变等同到点”的观念——在同伦类型论中，我们甚至可以更进一步：逻辑命题对应于空间，而证明对应于路径。等式 = ℵ₁ 成为一个类型，而一个证明的存在就像在两点之间存在一条路径：

于是，“几何”成为同伦几何，模型成为真理的空间，而逻辑等价成为路径。

现在我们把这些想法合在一起，希望把所有可能的集合论宇宙的整体描绘成一片广阔而不可见的景观。每一个宇宙都是这片景观中的一个“点”，并且在每一个点上，ZFC 的一切公理都成立，尽管就“存在哪些集合”而言，其局部风景当然可能不同。

在某些邻域中，连续统 与 ℵ₁ 重合。然而，倘若我们移步他处，新的实数会突然出现，膨胀了连续统，使得它高耸于 ℵ₁ 之上。

从数学的术语来说，穿行于这片景观并非在普通空间中的字面运动；相反，这里的“方向”是一些逻辑操作，比如进入一个内模型（Gödel 的 ），或者通过强制加入泛集。事实上，范畴论与拓扑斯理论可以把这种“移动”形式化——一个强制扩展可以被理解为沿着一个几何态射进行的基变换，正如在流形上改变坐标图会重新校准人们对局部景象的观感。另一方面，同伦类型论又提供了一个更进一步的几何层面，在那里我们可以把命题当作空间、把证明当作路径——如前所述，在一个 CH 为真的宇宙中，存在一条连续的路径见证 与 ℵ₁ 的同一；而在一个 CH 失败的宇宙中，这条路径被打断。

从某个视角看像是一个单一的点的东西，在一个更高的视角里，可以分裂为两个不同的位置；反过来，在一个更粗糙的投影下，两个点可以塌缩为一个。

更明确地说，为避免误解，这并不是关于观察者转身或改变视角的任何相对主义，而是关于逻辑环境自身的改变——尽管其现象学与我们旋转一个三维对象并发现或遮蔽其隐藏的深度类似。

对我来说，这个叙事在直觉上让我想起了 M. C. Escher 于 1953 年的石版画《Relativity》。这幅画把视线引向一个三维的楼梯格架。每一段楼梯都遵从它自己的重力轴。观者领会到一个连贯的空间，但任何试图走过其回廊的努力都会崩解。同理，一个集合论学者可以在某个 ZFC 的模型内部徜徉，并发现连续统假设为真，然后——逻辑上，而非空间上——迈入另一个模型，在那里同样的路径不再闭合。对我而言，Escher 的版画精妙地唤起了这样一种观念：在模型的景观中，“方向”可以是逻辑的，而非度量的。

回到康托的乐园，我们看到，这种关于逻辑几何的直觉也许实现了康托一世纪之前表达的希望。当他发明超限数时，他严格地绘制了“无限的多样性”，并且他怀疑更深的原理或许会固定那些无限的相对大小。今天我们知道，连续统假设仅凭 ZFC 是不可判定的，但

现代的强制与拓扑斯的机制表明，他的基数层级可能表现得类似于一个其形状会随着逻辑视角而改变的对象。

连续统那“魔鬼般的”独立性或许并没有把我们从康托的乐园中驱逐出去；相反，它赋予了他的超限宇宙一种微妙的、或许是几何式的灵活性，当代数学也许能够再次以他当初所设想的那种完全的精确性，把它描述出来。

来源：老胡科学一点号