摘要：在数学物理中，“积”这个概念远比初等数学里的“乘起来”要丰富得多。

在数学物理中，“积”这个概念远比初等数学里的“乘起来”要丰富得多。

它像一把万能钥匙，不同场合换一副“齿轮”，就能把局部信息拼成全局图景。

本文“从具体到抽象、从代数到几何、从经典到量子”，把常见且真正物理上管用的“积”做一个系统梳理，并指出它们各自“积”的对象、“积”出来的物理量、以及典型应用场景。

1. 数乘与内积(点积)：最熟悉的“积”，却仍是所有物理量纲分析的根基

对象：两个标量场 f(x), g(x) 或两个有限维矢量 v, w。

定义：f·g 或 v·w = Σᵢ vᵢ wᵢ（实欧氏）/ Σᵢ vᵢ wᵢ（复埃尔米特）。

物理角色：

能量本征值问题：⟨ψ|H|ψ⟩ 中的内积把“态”与“可观测量”配对成可测标量。

量子力学正交归一条件 ⟨x|p⟩=(2πħ)^{-1/2}e^{ipx/ħ} 保证完备性。

几何意义：给出矢量长度、夹角，从而定义“正交”与“投影”，为后面所有“正交模展开”奠基。

点积（内积）

2. 叉积与外积：从“面积矢量”到“磁矩方向”

三维叉积 a×b：垂直于 a、b 的矢量，大小等于平行四边形面积。

经典例：洛伦兹力 F = q v×B；角动量 L = r×p。

外积（wedge product）a∧b：不依赖维度、不指定“垂直方向”，得到的是“有向面积元”——二矢量。

微分形式语言：电磁场 F = ½ F{μν} dx^μ∧dx^ν，把 E、B 统一成 2-形式。

斯托克斯定理 ∫M dω = ∫{∂M} ω 里的积分区域正是由外积生成的“链”。

3. 张量积 ⊗：把“两个独立自由度”拼成一个更大的希尔伯特空间

数学：V ⊗ W 的维数是 dimV·dimW，基矢 |i⟩⊗|j⟩。

物理：

多体量子态：|ψ⟩{AB} = Σ{ij} C{ij}|i⟩A⊗|j⟩B，纠缠熵就看 C{ij} 的奇异值。

量子场论里“场算符”本身取值于 ⊗^n Fock 空间。

与“直和”区别：⊗ 让自由度“相乘”，直和只是“并列”，因此热力学极限下 ⊗ 给出指数增长的态空间。

量子力学中复合系统的态空间就是子系统态空间的张量积

4. 矩阵乘与算符复合：时间演化的“链式规则”

量子传播子：U(t) = exp(-iHt/ħ) 把初态“积”到末态；离散版本 U = U_n … U_2 U_1 就是矩阵连乘。

经典对应：切映射（tangent map）把微小位移拼成相流，雅可比矩阵的连乘决定李雅普诺夫指数。

非对易性：量子算符 [A,B]≠0 让“积”顺序成为物理（路径排序、时序积）。

5. 卷积 ：平移不变系统里的“权重叠加”

定义：(fg)(x)=∫ f(y)g(x-y)dy。

物理：

线性响应：输出 O(x)=∫ χ(x-x’)I(x’)dx’，χ 是响应函数。

信号传播：格林函数 G(x,x’) 充当“点源响应”，解 u = G * ρ。

傅立叶对角化：卷积变乘积，F[fg]=F[f]·F[g]，把微分方程代数化。

6. 路径积分里的“连续乘积”：把无穷小段演化“积”成整体振幅

分割 N→∞：

⟨x_f|e^{-iHT/ħ}|x_i⟩ = ∫ dx_1…dx{N-1} Π{k=0}^{N-1} ⟨x{k+1}|e^{-iHε/ħ}|x_k⟩。

每小段近似 e^{-iεH/ħ} ≈ e^{-iεV/ħ}e^{-iεT/ħ}（Trotter），于是整个振幅写成

∫ x(t) exp(iS[x]/ħ)，其中 x 正是“连续积”测度。

量子力学中把传播子拆成“无穷小段”再缝起来的标准手法

物理：

瞬时本征态不必相同，靠“积”把局部李雅普诺夫指数、几何相位全打包进总振幅。

拓扑项（θ-项、WZW）无法被微扰论捕捉，却自然地坐实在“积”的相位里。

7. 楔积与微分形式的积分：把“局域守恒”拼成“全域拓扑”

例子：磁通 Φ = ∫S F = ∫S dA，其中 F = dA 正是外导数。

德拉姆上同调：闭形式/正合形式分类由“积分”决定，积的“定义域”是链。

物理：

阿哈罗诺夫-玻姆相位 ∮C A = Φ，通过“积”把非局域拓扑效应落到可测相位。

陈-西蒙斯理论：S = k/(4π) ∫ Tr(A∧dA + ⅔ A∧A∧A)，系数 k quantized 因为 ∫ 必须 2π 整数倍。

8. 几何上的纤维丛“积”：规范场=主丛联络

局部 A_μ^a 是 su(N) 值 1-形式，整体拼成联络 ω ∈ -valued 1-form on P(M,G)。

曲率 F = dA + A∧A，第二项把“李代数结构常数”也积进去。

物理：

瞬子数 k = 1/(8π²) ∫ Tr(F∧F) 是整数，因为“积”把局部曲率拼成拓扑不变量。

反常方程 dJ_5 = F∧F，把“手征流不守恒”与“拓扑密度”直接挂钩。

9. 量子场论里的时序积与正规积：把“发散”组织成可测的“可观测”

时序积 T{φ(x)φ(y)}：保证因果性，费曼图每条内线就是 T-积的傅立叶变换。

正规积 :φ(x)φ(y)：把真空期待值减除，对应 Wick 排序。

算符积展开 (OPE)：A(x)B(y)～Σ_n C{AB}^n(x-y)O_n(y)，把“两算符靠近”时的乘积展开成局部算符的和，系数函数 C{AB}^n 含可测临界指数。

物理：

重整化群：OPE 系数满足 Callan-Symanzik 方程，跑耦合常数正是“积”的尺度依赖。

共形场论：OPE 完全决定 n-点函数， bootstrap 方法就是靠“积”的代数结构自洽求解。

10. 范畴论视角：统一所有“积”的“模板”

积 (product) 与余积 (coproduct) 是范畴论里对偶的极限/余极限构造。

例子：

Set 的积 = 笛卡儿积，余积 = 不交并；

Vect 的积 = 直积，余积 = 直和（有限维时同构）；

拓扑空间、光滑流形、群、环、C-代数都有对应构造。

物理：

拓扑量子场论（Atiyah 公理）把 n-维边界“态空间”看成 (n−1)-维流形范畴里的对象，而“配分函数”则是把 n-维 cobordism 当作“态射”——一种更高阶的“积”。

任意子理论：融合范畴里的“积”给出任意子融合规则 a×b = Σ_n N{ab}^c c， braid 群表示则由“积”的交换同构（R-矩阵）决定。

怎样“选用”正确的积？

1. 先问“物理自由度是否独立”：

独立 → 用张量积（多体、多粒子）。

有重叠/交互 → 用卷积或 OPE。

2. 再问“几何还是代数”：

几何（面积、通量、相位）→ 外积、楔积、路径积分。

代数（可观测量、表示）→ 矩阵乘、正规积、范畴积。

3. 最后看“是否需保留拓扑信息”：

需要（量子霍尔、瞬子）→ 外积 + 积分，或上同调积。

不需要（普通散射）→ 内积、卷积即可。

这样，当你下次面对“该把什么乘起来”的问题时，就能从这张“积”的地图里迅速定位到最合适的数学齿轮，把局部物理信息准确地拼成全局、可测、甚至拓扑不变量的完整图景。

来源：第二纽扣