摘要：本研究聚焦初中生数学解题中的核心难点与认知障碍，通过课堂观察、学生访谈及试卷分析，系统性构建 “审题表征 — 思路探求 — 过程实施 — 反思拓展” 四步解题策略体系，并配套设计 “示范 — 模仿 — 内化” 等教学模式。经过一年行动研究验证，该策略能显著提升

摘要

本研究聚焦初中生数学解题中的核心难点与认知障碍，通过课堂观察、学生访谈及试卷分析，系统性构建 “审题表征 — 思路探求 — 过程实施 — 反思拓展” 四步解题策略体系，并配套设计 “示范 — 模仿 — 内化” 等教学模式。经过一年行动研究验证，该策略能显著提升学生数学思维能力、解题效率及学业自信心，为初中数学教学从 “知识传授” 转向 “思维赋能” 提供实践路径与方法论支持。

一、问题背景：为何初中生总在解题时 “卡壳”？

初三数学课堂上，李老师在黑板上写下一道几何题：“矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上的动点，连接 AE、DE，探究△AED 的面积变化规律。” 台下的小陈反复读题 3 遍，笔尖在草稿纸上画了个矩形，却迟迟不敢下笔 —— 他盯着 “动点 E”“面积变化” 这两个关键词，既不知道该调用矩形面积公式，也不清楚 “动点” 会带来哪些不变的条件。

这种 “望题生畏” 的场景，在初中数学课堂上并不少见。深入分析后我们发现，初中生解题困难主要集中在三个层面：

策略性知识缺失：学生能背出勾股定理、一元二次方程求根公式，却不知道在几何证明题中何时用勾股定理，在应用题中何时设未知数列方程；

思维过程无序：面对综合题时，要么盲目尝试代入数值，要么毫无方向地画辅助线，思考缺乏条理性；

元认知能力薄弱：解题时不会监控自己的思路，即使陷入错误方向也不调整，得出答案后从不检验是否合理。

正是这些问题，让很多学生觉得 “数学难学”“题不会解”。而本研究的核心价值，就是帮学生建立一套可操作、可迁移的解题系统，让 “会解题” 从 “少数人的天赋” 变成 “多数人的能力”。

二、现状分析：解题困难背后的四层障碍

为精准定位问题，我们对 3 所初中的 286 名学生进行了为期 2 个月的课堂观察、120 份试卷分析及 30 次学生访谈，最终总结出解题困难的四个核心维度：

1. 阅读表征障碍：连题目都 “读不懂”

很多学生并非不会知识点，而是无法将题目文字转化为数学语言。具体表现为：

情景误解：把 “轮船顺流逆流” 问题中的 “水流速度” 当成 “船速”，无法抽象出行程问题模型；

信息提取不全：解几何题时忽略 “中点”“角平分线” 等隐含条件，导致思路中断；

符号转换困难：看到 “某数的 2 倍比它的一半多 3”，不能转化为 “2x - 0.5x = 3” 的方程形式。

就像在测试 “一轮船从 A 港到 B 港顺流航行需 4 小时，逆流返回需 6 小时，求木板从 A 港漂到 B 港的时间” 时，超过 60% 的学生能列出顺流、逆流速度的方程，却没意识到 “木板速度 = 水流速度”，最终卡在最后一步。

2. 思维策略障碍：有知识点却 “用不上”

掌握了基础公式定理，却找不到解题方向，主要体现在：

缺乏思路导向：不知道该用正向推理（从条件推结论）还是逆向推理（从结论找条件）；

不会化归转化：面对 “二次函数与坐标轴交点距离” 问题，不会转化为 “求方程根与系数关系”；

分类讨论缺失：解 “等腰三角形边长为 3 和 5，求周长” 时，只算一种情况，忽略腰长为 3 或 5 的两种可能。

3. 操作执行障碍：思路有了却 “算不对”

好不容易找到解题方向，却因操作不规范丢分，常见问题包括：

计算失误频繁：去括号时漏变号、分式运算通分错误，比如把 “(x-2)/3 = 1” 算成 “x-2 = 1”；

推理逻辑跳跃：几何证明中直接跳过 “三角形全等” 的条件，直接得出 “对应边相等”；

书写表达混乱：解题过程东写一句西写一句，关键步骤省略，阅卷老师看不清思路。

4. 监控反思障碍：解完题就 “结束了”

很多学生认为 “算出答案就是解题终点”，却忽略了反思环节：

不会评估进展：陷入 “设未知数→列方程→解不出→重新设→还是解不出” 的循环，不会停下来换思路；

缺乏验证意识：算出 “人数为负数”“时间为 100 小时” 也不觉得奇怪，直接写答案；

忽视策略总结：同一类型的题做了 5 遍，下次遇到还是不会，因为没总结通用方法。

三、核心构建：初中生能学会的四步解题策略

基于波利亚 “怎样解题” 理论，结合初中生认知特点，我们构建了 “四步解题策略体系”，每一步都配套具体可操作的教学方法：

第一步：审题表征策略 —— 先把题目 “翻译” 成数学语言

很多学生解题卡壳，第一步就错在 “没读懂题”。这一步的教学重点是帮学生把文字信息转化为可操作的数学信息：

信息标注法：用 “△” 标已知条件，“？” 标未知量，“波浪线” 标隐含条件（比如 “等腰三角形” 标上 “两腰相等”）；

语言转译训练：把文字描述转化为图形、符号或表达式，比如 “商品利润率不低于 5%” 转成 “利润 / 成本 ≥ 5%”；

模型识别引导：帮学生判断题目属于 “方程模型”“函数模型” 还是 “几何模型”，比如行程题对应 “路程 = 速度 × 时间” 模型。

就像解 “某商品进价 100 元，标价 150 元，打折销售后利润率不低于 5%，最多打几折” 时，我们会引导学生分三步转译：

找核心关系：利润 = 售价 - 进价，利润率 = 利润 / 进价；

设未知数：设打 x 折，售价 = 150×(x/10)；

列不等式：(150×(x/10) - 100)/100 ≥ 5%，最终转化为 “15x - 100 ≥ 5”，解出 x ≥ 7。

这样一来，复杂的应用题就变成了简单的不等式求解，学生能清晰看到解题路径。

第二步：思路探求策略 —— 找到解题的 “突破口”

审题后找不到思路，是学生最头疼的问题。这一步的关键是教学生 “找方向”：

双向推理法：从结论倒推 “需要什么条件”（比如证明 “两线平行”，需要 “同位角相等” 或 “内错角相等”），从条件正推 “能得出什么结论”（比如已知 “中点”，能想到 “中位线”“中线”）；

特殊化策略：用特殊值、特殊图形找规律，比如解 “二次函数 y=ax²+bx+c 的性质” 时，先代入 x=0、x=1 等特殊值，再推导一般情况；

数形结合引导：几何题画图，代数题画函数图像，比如解 “一元二次方程根的情况” 时，结合抛物线与 x 轴的交点判断。

比如证明 “三角形两腰中点连线平行于底边”，我们会引导学生这样找思路：

先画图：画等腰△ABC，标记 AB、AC 的中点 D、E，连接 DE；

找已知：AD=DB，AE=EC；

想关联：有中点、有线段，可能和 “三角形中位线” 有关，而中位线的性质就是 “平行于第三边且等于第三边一半”；

定方向：证明 DE 是△ABC 的中位线，即可得出平行关系。

通过这样的引导，学生能从 “无头绪” 变成 “有方向”，逐步建立解题信心。

第三步：过程实施策略 —— 确保 “算对、写清” 不丢分

找到思路后，如何避免 “会做却做错”？这一步要聚焦 “规范” 和 “准确”：

分步得分训练：告诉学生 “即使最终答案错，写对步骤也能得分”，比如解方程时，先写 “去分母得”“移项得”，再写结果；

计算检查方法：教学生用 “逆运算检验”（比如解方程后代入检验）、“估值检验”（比如算人数时，结果应是正整数）；

规范书写要求：规定 “几何证明每一步都要写依据”（比如 “∵AB=AC（已知），∴∠B=∠C（等腰三角形性质）”），代数题按 “设→列→解→答” 的顺序写。

比如解 “一元二次方程 x²-3x+2=0” 时，要求学生这样写：

因式分解：(x-1)(x-2)=0（依据：因式分解法解一元二次方程）；

得解：x-1=0 或 x-2=0（依据：若 ab=0，则 a=0 或 b=0）；

结果：x₁=1，x₂=2；

检验：代入原方程，1-3+2=0，4-6+2=0，结果正确。

通过规范书写和检查，学生的计算准确率能提升 30% 以上。

第四步：反思拓展策略 —— 让 “解一道题” 变成 “会一类题”

解题的最终目的不是 “得到答案”，而是 “学会方法”。这一步要教学生 “总结规律”：

一题多解比较：比如解 “梯形面积”，既可以用 “（上底 + 下底）× 高 / 2”，也可以用 “分割成三角形 + 平行四边形”，比较两种方法的适用场景；

多题一解归纳：比如 “行程问题”“工程问题”“利润问题”，本质都是 “总量 = 效率 × 时间” 的模型，总结出 “设未知数→找等量关系→列方程” 的通用步骤；

错题归因分析：让学生建立错题本，按 “计算错误”“思路错误”“审题错误” 分类，比如把 “漏看‘不小于’导致列错不等式” 归为审题错误，并写清改进方法。

比如学生解完 “等腰三角形边长为 3 和 5，求周长” 后，我们会引导反思：

这道题为什么要分情况？（因为腰长可能是 3 或 5）；

有没有需要注意的陷阱？（当腰长为 3 时，三边 3、3、5 要满足三角形三边关系）；

同类题的通用方法是什么？（遇到等腰三角形边长问题，先分情况讨论腰长，再验证三边关系）。

通过这样的反思，学生下次遇到同类题，就能快速找到思路。

四、教学实施：让策略 “落地” 的课堂模式

有了解题策略，如何在课堂上教给学生？我们设计了三种核心教学模式，适配不同课型：

1. 示范 — 模仿 — 内化模式：适合新策略教学

很多学生 “不会用策略”，是因为没见过 “别人怎么用”。这种模式通过教师示范，让学生从 “模仿” 到 “内化”：

教师示范（5 分钟）：不仅讲 “怎么做”，更讲 “怎么想”。比如讲动点问题时，边读题边说：“看到‘动点 E 在 BC 上移动’，我会先想‘BC 是定线段，E 的位置变化时，哪些量不变？’——△AED 的底 AD 是矩形的边，长度不变，高是 AB 的长度，也不变，所以面积应该不变”；

学生模仿（10 分钟）：给一道类似题，让学生模仿教师的思考过程，边做边说 “我现在要找不变的量”“我需要用矩形面积公式”；

小组讨论（10 分钟）：4 人一组，交流各自的思考过程，比如 “你为什么先找底和高？”“我没想到高不变，你是怎么发现的？”；

内化总结（5 分钟）：全班一起总结 “动点问题中找不变量” 的策略，记在笔记本上。

在初二年级 “一次函数应用题” 教学中，用这种模式后，学生能独立找到等量关系的比例从 42% 提升到 78%。

2. 变式训练模式：帮学生 “抓本质”

很多学生 “换一道题就不会”，是因为没掌握问题的本质。变式训练通过改变题目条件、结论或背景，让学生看到 “变中的不变”：

概念性变式：比如讲 “平行四边形” 时，给出 “倾斜的平行四边形”“水平的平行四边形”“邻边相等的平行四边形（菱形）”，让学生看到 “对边平行且相等” 的本质；

过程性变式：比如解 “一元二次方程 x²-4x+3=0”，先教因式分解法，再变式为 “x²-4x+4=0”（用配方法），再变式为 “x²-4x-5=0”（用公式法），让学生掌握不同方法的适用场景；

背景性变式：比如 “工程问题”，先讲 “甲、乙修公路”，再变式为 “甲、乙打字”“甲、乙注水”，让学生看到 “工作总量 = 工作效率 × 工作时间” 的通用模型。

在 “三角形全等证明” 教学中，通过 12 道变式题训练，学生能识别 “SSS、SAS、ASA” 等判定定理的比例从 55% 提升到 89%。

3. 元认知训练模式：让学生 “会思考自己的思考”

很多学生 “不知道自己不知道”，是因为缺乏元认知能力。这种模式通过工具引导，让学生监控自己的解题过程：

自言自语法：让学生解题时 “说出来”，比如 “我现在在审题，看到‘利润率’，我需要找利润和成本的关系”“我刚才算错了，因为去分母时漏乘常数项，现在重新算”；

思维日记法：让学生每天写 3 句话：“今天解的题中，我卡壳的地方是______”“我用了______方法解决”“下次遇到类似题，我会______”；

计划 — 监控 — 评估表：设计表格让学生填写：

通过元认知训练，学生能主动发现自己解题问题的比例从 28% 提升到 67%。

五、实践效果：一年行动研究的真实数据

为验证策略的有效性，我们在初二年级选择两个平行班（实验班 50 人，对照班 48 人）进行为期一年的对比研究：实验班用 “四步解题策略 + 配套教学模式”，对照班用传统教学方法，最终从学业成绩、能力维度、情感态度三个方面看到显著差异。

1. 学业成绩：综合题提升幅度是对照班的 3 倍多

从数据能看出，基础题上两班差距不大，但综合题（需要多种策略结合）实验班提升幅度是对照班的 3.7 倍，说明解题策略对复杂问题的帮助更明显。

2. 能力维度：审题、思路、表达全面提升

通过分析学生的解题过程，我们发现实验班在三个核心能力上进步显著：

审题准确性：实验班能完整提取已知、隐含条件的比例从 38% 升至 75%，提高 37 个百分点；对照班从 36% 升至 47%，仅提高 11 个百分点；

思路多样性：实验班学生解同一道题，平均能提出 1.8 种思路（比如几何题用 “全等” 或 “相似”），对照班仅 0.9 种；

表达规范性：实验班解题过程完整度（步骤清晰、有依据、结果正确）达 85%，对照班为 62%，尤其在几何证明题中，实验班 “步骤得分率” 比对照班高 23%。

3. 情感态度：从 “怕数学” 到 “爱数学”

通过问卷调查（满分 100 分，分数越高态度越积极）和访谈，我们看到学生对数学的情感态度发生明显变化：

学习自信心：实验班 “有信心解数学题” 的学生比例从 45% 升至 78%，对照班从 43% 升至 52%；

数学兴趣度：实验班 “喜欢上数学课” 的比例从 38% 升至 65%，很多学生说 “现在能自己找到解题思路，很有成就感”；

策略意识：实验班 90% 的学生认为 “掌握解题方法比背公式重要”，对照班仅 45%，且实验班有 82% 的学生建立了错题本，对照班仅 31%。

六、结论与建议：让解题策略真正服务教学

1. 主要结论

一年的研究让我们明确了三个核心观点：

初中生数学解题困难，根源不是 “知识点没学会”，而是 “策略性知识缺失” 和 “元认知能力薄弱”，很多学生 “有知识不会用”；

“审题表征 — 思路探求 — 过程实施 — 反思拓展” 四步解题策略，符合初中生认知特点，能有效提升解题能力，尤其对综合题和复杂题帮助显著；

“示范 — 模仿 — 内化”“变式训练”“元认知训练” 三种教学模式，能让解题策略落地课堂，不仅提升学业成绩，还能培养学生的数学思维和学习兴趣。

2. 教学建议

基于研究成果，我们给初中数学教师提出四点建议：

把策略训练融入日常教学：不用专门开 “策略课”，而是在每节课中渗透，比如讲应用题时教 “审题转译”，讲几何题时教 “双向推理”，建议每节课预留 5-8 分钟总结当天用到的解题策略；

注重 “思维可视化”：教师解题时要 “有声思维”，把 “怎么想的” 说出来，比如 “我现在要找等量关系，先看题目中的‘一共’‘比… 多’这些关键词”，让学生看到 “思维过程”；

改变评价方式：不要只看 “答案对不对”，更要关注 “思路对不对”“步骤全不全”，比如在作业批改中，对 “思路正确但计算错误” 的学生，标注 “思路很好，再检查一下计算”，保护其自信心；

给学生 “试错空间”：遇到学生解题卡壳时，不要直接给答案，而是用提问引导，比如 “你现在知道哪些条件？”“要得出这个结论，需要什么条件？”，让学生自己找到思路，培养独立解题能力。

3. 研究展望

本次研究还存在一些不足，未来我们将从三个方向深入：

针对不同认知风格的学生（比如视觉型、听觉型），探索更适配的解题策略，比如对视觉型学生多用量化图、思维导图；

结合信息技术（比如几何画板、数学软件），探索 “技术 + 解题策略” 的教学模式，比如用几何画板动态展示 “动点问题” 中不变的量；

研究数学解题策略与物理、化学等理科科目的迁移关系，比如 “方程模型” 在物理 “力学问题” 中的应用，帮助学生建立 “跨学科解题思维”。

数学家波利亚曾说：“掌握数学就是意味着善于解题。” 但 “善于解题” 不是 “天生会”，而是 “学不会”—— 需要教师教给学生可操作的策略，需要学生通过训练内化方法。

对教师而言，我们要从 “知识的传授者” 变成 “思维的引导者”，不仅教 “是什么”“怎么做”，更要教 “怎么想”；对学生而言，要从 “被动的接受者” 变成 “主动的探索者”，不仅 “学知识”，更要 “学方法”。

当学生真正掌握了解题策略，他们获得的不仅是数学成绩的提升，更是一种 “解决问题的能力”—— 这种能力能迁移到物理、化学等学科，甚至迁移到未来的生活和工作中。而这，正是数学教育的核心价值：培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。

来源：冉冉课堂