摘要：∠C=120°=∠BAD，当∠BAF=30°，∠DAF=∠BAD-∠BAF=90°，AF⊥AD。

这是广州市2024年中考数学题。

第一问：判断AF与AD的位置关系。

第一问是送分。 因为 △ AEB 与△ AEF对称，所以 AF =AB= AD。

第二问：求r的取值范围。

这一问的难点是动图、动点，无法确定图形。

解决动点动图问题，有一个经验：化动为定。比如考虑几个极值情况。

1、当AE垂直BC时，F点刚好与C点重合。△AEF的外接圆直径刚好是AC。

2、当E点与C点重合时（题目明确说不能重合，所以这是一个空的极值），F与D点重合（显然这也是无法取到的数值），这时△AEF就和△ACD重合，可以求出半径r（这一点无法取到）。

3、因为E点是沿着射线BC运动，所以可以无限远，所以圆的半径r没有上限。

通过这三点思路，基本就能求出r的范围，但这并不是严格的证明。严格的证明步骤参考下图：设外接圆圆心为O，连接OA、OE，作OG⊥AE，作AH⊥BC。

过程很复杂，我们梳理一下核心逻辑。

1、△AEF与△AEB对称，也就是全等，所以∠F=∠B=60°，这个条件是不变的；

2、外接圆的圆心角是圆周角的2倍，所以∠AOE=2∠F=120°，这也是不变的；

3、AE长度虽然是变化的，但AE是圆一段弦，所对应的圆心角是∠AOE，是120°，所以可以求出 r 和AE的关系，而且这个关系也是不变的。

最终，可以通过AE长度的变化范围，确定 r 的变化范围。

我们在课程中讲过：这种复杂的动点动图问题，核心是找到变化中的不变条件和不变关系。化动为定，化变化为不变，是解决这类难题的核心心法。

第三问很复杂，建议放弃。

难点在于不容易想出图形，而也不容易找到角之间的关系。你千万不要认为看答案都能看懂，自己就会。在考场你很难凭空想出这么多关系。

答案不是终点，是学习的起点

这道题只是倒数第二题，特别考验空间想象能力，如果你只是瞪眼看，不能尽快画出草图，就很难进行后续推论。

几何问题考验想象力，尤其是动点、动图问题，由于是不确定的，就更难想象。所以你不能只是坐在那里空想，必须多动笔，多画图，多尝试。

当然，从考试策略来说，如果你毫无头绪，恐怕要暂时搁置放弃。因为如果你花了很长时间，还没有算出来的话，反而是更亏的。

平时可以多花时间研究， 考试时必须有舍有得。放弃难题怪题，给简单题留足时间，把该拿的分都拿走，这才是上策。

之前题目重做，做不出来，说明没学会

来源：珊子云