摘要：本文通过对质数分布规律的深入研究，发现质数分布同时存在随机性和确定性两种特征，定义为不完全随机性。质数在整数序列中的位置存在随机性，但是在一定区间内的质数个数存在确定性。并且质数分布存在两种变动趋势特征，一个大的趋势是质数密度逐渐降低；另外一个趋势是逆向的概率

不确定性是一个复杂而普遍存在的现象，随机性是描述不确定性的重要概念，其量化工具是概率。

本文通过对质数分布规律的深入研究，发现质数分布同时存在随机性和确定性两种特征，定义为不完全随机性。质数在整数序列中的位置存在随机性，但是在一定区间内的质数个数存在确定性。并且质数分布存在两种变动趋势特征，一个大的趋势是质数密度逐渐降低；另外一个趋势是逆向的概率密度略微增加。质数分布具有某种随机性，其分布完全受自然规律控制，不存在次要因素所引发的偶然性掩盖与干扰。质数的数量是固定的，虽然不存在准确的函数表达式，但具有一定的确定性。这种特殊类型的分布，呈现结果固定，为不完全随机分布，其计算某一特殊事件发生的总概率为累积概率：P（总）=∑P（n）。作为不完全随机性量化工具的总累积概率是一个全新概念，不同于经典概率，其数值允许大于常数1。

不完全随机性的发现，有助于找到质数分布的规律，加深对宇宙规律的认识，拓宽对自然界本质更深层的思考。

很多涉及质数的猜想，都是悬而未决的问题，其中一些长达300年之久。不完全随机性可提供全新的独特的视角。本文应用不完全随机分布定理，尝试给出了其中一些问题的证明，例如梅森质数猜想和Collatz猜想等等。

不确定性，随机性，概率，不完全随机性，累积概率，质数分布

不确定性是一个复杂而普遍存在的现象，同时也是一个广泛的概念，它指人们在实验或观察中对事件或结果在未来发生的可能性无法完全确定，或者无法获得足够的信息来准确预测事件的结果。

随机性是描述不确定性的重要概念，可认为是一类可量化的不确定性，通常指事件或结果在特定条件下不可预测的特性。随机性的量化通常涉及到对随机事件或过程的不确定性进行数学描述，包括概率与统计，随机过程等。随机性和概率紧密相连，它们在描述和解释不确定性事件时起着核心作用。概率是用来量化随机事件发生可能性的一种数学工具。概率定义为事件发生集合的测度，它的值介于0和1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件必然发生。随机性涉及到事件发生的概率分布，即事件发生的可能性，但每一次的具体结果却是不可预知的。例如，掷骰子的结果就是一个随机变量，因为每次掷骰子时，人们无法准确预测哪个数字会出现。[1,2,3,4,5]

经典概率理论认为：随机分布的成因，一定存在未能为人们所认识或未能被人们所控制的次要因素；随机分布具有完全的随机性，现存的概率计算公式是全面的。因而，上述随机性是一种完全随机性。

然而，世界上的事情是复杂的。观察和分析表明，随机性存在多种分类的可能性。例如，数学中的质数在自然数区间存在的随机性与物理实验观察所得数据中存在的随机性有本质的区别，不存在次要因素所引发的偶然性的掩盖与干扰，质数出现的随机性是由自然数的内在规律所决定。因此，可将随机性分为完全随机性与不完全随机性。随之而来，描述两种随机性的数学工具将有所不同。

如果将确定性与完全随机性看成两个极端情况，不完全随机性可视作介于两者之间。如果确定性的描述可看成是无穷大，完全随机性的概率描述是在[0,1]之间，则在中间的不完全随机性的概率描述就可以是任意非负的有限实数，即其量化工具可扩展传统定义，不受经典概率空间的限制。

超越经典概率模型的概念，赋予了我们一种全新的视角和得心应手的工具。

通过对质数分布的深入研究发现，质数分布存在随机性和确定性两种特征。质数在整数序列中的位置存在随机性，但是在一定区间内的质数个数存在确定性。并且质数分布存在两种变动趋势特征[6,7]；存在一个大的趋势质数密度逐渐降低；另外还存在一个逆向的概率密度变化小趋势。因此，质数的分布具有某种特殊性。质数分布类型不属于完全随机分布，故需要重新定义质数的分布类型。

不完全随机分布：发生的随机事件完全受自然规律控制呈现结果固定，不能归一化处理，总的概率之和可以大于数值1。

完全随机分布：发生的随机事件呈现结果不固定，能够归一化处理，总的概率之和为数值1。

质数随机分布呈现出的结果是固定的，只是不存在准确的函数表达式。在任何指定的区间，做质数探测实验，得到的结果是确定的。虽然不能预测质数出现的准确位置，但是能够预测某区间质数个数存在的下界；投骰子和投硬币实验的随机分布，能够受到不可控次要因素的影响，呈现出的结果是不固定的。既不能预测某次实验出现某一特定结果，也不能预测某实验区间特定结果出现的最低次数。在任何实验次数的区间做掷骰子实验检测，结果均是不确定的。质数是一种特殊类型的分布，呈现结果固定为不完全随机分布。不完全随机分布，计算某一特殊事件发生的总概率为计算累积概率：P（总）=∑P（n）。总的累积概率是一个全新的特殊概念不同于单纯的概率，其数值允许大过常数1。

对不完全随机分布，计算某一特殊事件发生的总概率为计算累积概率：P（总）=∑P（n）。

证明方法：

假设质数分布类型属于完全随机分布。根据质数定理小于整数x的整数为质数的平均概率为1/Ln(x)，现计算小于整数100的整数当中存在质数的概率。

依据完全随机分布概率理论计算：

每个小于100的整数不是质数的概率为1-1/Ln（100），小于整数100的整数当中存在质数的概率为1-（1-1/Ln(100)）100 = 0.999999999977。

结果存在质数的概率小于数值1，即质数不是必然存在。

采用不完全随机分布定理计算：

总的累积概率P（总）=∑P（n）。

因为质数定理表明1/Ln(x)为小于x的整数为质数的平均概率下界，因此小于100的整数存在质数的下界概率为100个1/Ln(100)相加为21.7。

结果存在质数这一事件至少发生21次，即质数是必然存在。

真实情况：小于100的整数中存在25个质数，任何人进行验证存在25个质数都是事实，质数是一种必然的存在。假设与真实情况矛盾，因此证明质数分布类型是一种全新类型的分布，即属于不完全随机分布。

梅森质数猜想在1644年提出，指形如2n-1的正整数中，是否有无穷多个梅森质数。

证明方法：

设n>1为任意正整数，根据质数定理，2n-1为质数的概率保守估计大约为1/Ln(2n-1)，所以小于2n的梅森质数个数的下界函数（累积概率）保守估计大约为

因为当x增加时，Ln(2x-1)趋近于Ln(2x)，所以上述公式可简化为

又因为当n趋近于无穷大时，上式中的调和级数发散。该函数值，即梅森质数的个数，亦趋于无穷大。这就证明了梅森质数猜想，即存在无穷多个梅森质数

因为2n-1类型的正整数尾数只能为1、3、5和7；又因为尾数为1、3、7和9时，正整数m为质数的概率为10/4*1/Ln(m)，所以尾数为1、3、5和7时，正整数m为质数的概率为10/4*1/Ln(m)*3/4。化简后2n-1类型的正整数为质数的较为精确的概率大约为15/8*/Ln(2n-1)。所以，当n>1为任意正整数时，小于2n的梅森质数的个数（累积概率）较为精确的估计大约为

个。

Collatz猜想，又称3x+1猜想，是指对一个自然数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数2n，这样经过若干次操作，总是最终回到1。该猜想由德国数学家Lothar Collatz在1937年提出，至今尚未被彻底证明。

证明方法：

Collatz猜想的每一次操作，不论奇数偶数均可用数学模型（k*2^n）*3+2^n表示，简化后为（3k+1）*2^n。奇数因子k的分布，受自然规律控制，属于确定性随机分布。因为任意正整数确定后不同人进行操作，每次操作后的奇数因子均完全相同，存在确定性。

设2^t为刚好小于3k的完全平方数，则2^t＜(3k+1)≤2*2^t。由于k为任意奇数，所以(3k+1)的数值在大于2^t和小于等于2*2^t之间波动，且在接近2*2^t的区域随机分布。由于大于2^t小于3k区域内不存在(3k+1)，且(3k+1)为偶数，因此每次操作后(3k+1)等于2*2^t的概率保守估计为1/（2*2^t-2^t）=1/2^t。函数Σ1/2^t，是(3k+1)为完全平方数这件事发生次数的下界函数。

事实上，k为任意奇数，每次操作后(3k+1)必然为偶数。而偶数存在多种形式，因为偶数k*2^n当中n为任意正整数，析出偶数的操作次数不等。导致下一次操作时的k值忽大忽小，不存在单调增加的趋势。因此(3k+1)为完全平方数的概率值1/2^t初始阶段时大时小始终处于上下波动之中。当(3k+1)为完全平方数后概率值的每一项均为1/2，因为此时奇数因子k为数值1。继续操作(3k+1)为完全平方数的概率值为1/(2^2-2^1)=1/2，并不存在随着操作次数的增加逐渐减小的趋势。最终形成(3k+1)为完全平方数的累计概率函数Σ1/2^t的值虽然单调递增，但是函数曲线上升斜率在初始阶段时高时低。当(3k+1)为完全平方数后函数曲线上升斜率固定不变，不存在逐渐降低的趋势。

将累计概率函数Σ1/2^t与调和函数Σ1/n比较，调和函数Σ1/n的每一项1/n，随着项数n的增加，1/n存在数值逐渐变小的趋势。导致调和函数Σ1/n曲线上升斜率逐渐变小。

任意正整数k*2^n不论多大，其中的奇数因子k都是一个确定值。因此刚好小于3k的完全平方数2^t其中的t值是一个有限的数值。当调和函数Σ1/n其中的n值大于2^t后，对应函数1/2^t的数值将逐渐大于函数1/n的数值。即n值小于2^t时函数1/n的数值大于函数1/2^t的数值；n值大于2^t时函数1/n的数值小于函数1/2^t的数值。

2^t是一个有限的数值，函数1/n的数值大于函数1/2^t的数量有限；函数1/n的数值小于函数1/2^t的数量无穷。

因此，当操作次数趋近于无穷多的过程中，累计概率函数Σ1/2^t的值大于相对应次数的调和函数Σ1/n的值。又因为调和函数Σ1/n的值当n趋于无穷大时趋于无穷大，故当操作次数逐渐增加时，（3k+1）为完全平方数的累计概率函数值Σ1/2^t>>1，操作次数无穷多时亦趋于无穷大，不收敛。

累计概率函数值Σ1/2^t（下界函数），代表（3k+1）为完全平方数发生次数的下界，当操作次数逐渐增加时远远大于数值1。操作次数趋近于无穷多时，累计概率函数值Σ1/2^t为无穷大，并不收敛。说明（3k+1）为完全平方数这一事件为必然，这就证明了Collatz猜想。

本文从观察和分析出发，对随机性给出了一个分类，定义了不完全随机性，它介于确定性和完全随机性之间，所采用的量化工具是累积概率，其值允许大于常数1.

不完全随机性的发现，加深了对宇宙规律的认识，拓宽了对自然界本质更深层的思考。

这一发现有助于找到质数分布的新规律，开创数学研究的新范式。很多涉及质数的猜想，都是悬而未决的问题，其中一些长达300年之久。不完全随机性可提供全新的独特的视角。本文应用不完全随机分布定理，尝试给出了其中一些问题的证明，例如：梅森质数猜想和Collatz猜想等等。

[1] Probability theory. https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_theory.

[2] Probability and statistics.https://www.britannica.com/science/probability.

[3] Randomness.https://en.wikipedia.org/wiki/Randomness.

[4] Stochastic - Wikipedia，https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic.

[5] Uncertainty. https://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty.

[6] G. H.Hardy and E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers, 6th ed., Oxford University Press, 2008.

[7] https://mathworld.wolfram.com/PrimeCountingFunction.html.

[8] Zhi Li and Hua Li.A Proof of Mersenne Prime Conjecture. https://vixra.org/abs/2209.0018.

[9] Zhi Li and Hua Li.Proof of Collatz Conjecture. https://vixra.org/abs/2410.0080.

来源：永不落的红黑心