摘要：本文所选“几何模型”取材于《九章算术》勾股章第十四题。此题貌似简单，但却非常了不起，在业界评价极高，被认为是世界数学史上独立于古希腊数学家提出的完整的整勾股数通解公式，并由刘徽补充了严格的几何证明，是中国数学史上的杰出成就……。《九章算术》给出的整勾股数的通项

文/李建恒[20250120]

本文所选“几何模型”取材于《九章算术》勾股章第十四题。此题貌似简单，但却非常了不起，在业界评价极高，被认为是世界数学史上独立于古希腊数学家提出的完整的整勾股数通解公式，并由刘徽补充了严格的几何证明，是中国数学史上的杰出成就……。《九章算术》给出的整勾股数的通项公式较《几何原本》的公式更为完整，刘徽给出的严格证明毫不逊色于与其同时代的丢番图，因此，《九章算术》及刘徽的这项数学成果是值得表彰的(参见附录)。

所谓“勾股数”，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。

[原文] 今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪(斜)东北与乙会。问甲乙行各几何？

荅曰：乙东行一十步半；甲邪行一十四步半及之。

术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率。邪行率减于七自乘，余为南行率。以三乘七为乙东行率。置南行十步，以甲邪行率乘之，副置十步，以乙东行率乘之，各自为实。实如南行率而一，各得行数。

[译文] 如图所示：假设甲、乙二人在A处同时出发，他们在相同时间t内的行程之比是甲行率为7，乙行率为3。乙沿AC向东走，甲沿AB向南走10步到B后，斜向东北BC方向，在C处恰与乙相会合。问甲、乙的行程各多少?

[说明]此题由于每个人的理解不同，会给出两个答案：一是只计算甲斜向东北的路程；二是把甲向南走10步和斜向东北方的步数加在一起。答案①，乙向东走十步、又二分之一步；甲斜向东北走十四步、又二分之一步追及乙。答案②，乙向东走了十步、又二分之一步；甲南行而斜向东北走了二十四步、又二分之一步赶上乙。

[几何模型] 本题提出了完整的整勾股数通项公式，刘徽在“术曰”中用勾幂、股幂、弦幂构建了几何模型予以证明。几何模型和公式见下图。

[附录] 摘自李继闵译注的《九章算术》(2023年)的“题解”。

来源：灵灵课堂