专题常见特殊模型及结论(斜率积定，定点定向)

摘要：在高考数学中，经常遇到一些涉及直线斜率的问题，特别是当直线的斜率满足某种特定关系（如斜率积为定值）或直线通过某个定点并具有特定方向时。这类问题通常与圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）紧密相关。掌握这些特殊模型和结论，可以大大提高解题效率和准确性。

一、引言

在高考数学中，经常遇到一些涉及直线斜率的问题，特别是当直线的斜率满足某种特定关系（如斜率积为定值）或直线通过某个定点并具有特定方向时。这类问题通常与圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）紧密相关。掌握这些特殊模型和结论，可以大大提高解题效率和准确性。

二、常见特殊模型及结论

斜率积为定值在圆锥曲线中，如果两条直线分别与曲线相交于两点，且这两直线的斜率之积为定值，那么这两条直线通常具有某种特殊性质。例如，在椭圆中，如果两条直线分别与椭圆相交于关于原点对称的两点，且这两条直线的斜率之积为定值（通常与椭圆的离心率有关），则这两条直线可能是椭圆的切线或共轭直径。定点定向如果一条直线通过某个定点并具有特定方向（如与某条已知直线平行或垂直），则这条直线可能满足某种特殊性质。例如，在抛物线中，如果一条直线通过抛物线的焦点并与抛物线相交于两点，那么这条直线与抛物线的对称轴平行或垂直时，可能具有特殊的几何性质（如弦长最大或最小）。

三、高考中的应用

快速判断直线与圆锥曲线的位置关系利用斜率积为定值的结论，可以快速判断直线与圆锥曲线的位置关系（如相切、相交、相离）。这有助于在解题过程中迅速缩小搜索范围，提高解题效率。求解最值问题在高考中，经常遇到求弦长、面积等最值问题。利用定点定向的结论，可以构造出满足特定条件的直线，并通过求解该直线与圆锥曲线的交点来找到最值。证明几何性质在证明某些几何性质时（如证明两条直线是圆锥曲线的切线或共轭直径），可以利用斜率积为定值或定点定向的结论来简化证明过程。

四、例题解析

【例题】已知椭圆 C:a2x2+b2y2=1（ab>0）的左、右焦点分别为 F1,F2，过 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 AB 两点。若 △AF1F2 的内切圆半径为 1，且 △B 的面积为 43，求直线 l 的斜率 k。

【解析】

设直线 l 的方程为 y=k(x−c)，其中 c=a2−b2 是椭圆的焦距。联立直线 l 和椭圆 C 的方程，消去 y，得到关于 x 的二次方程。利用韦达定理求出 x1+x2 和 x1x2 的值。利用三角形内切圆半径和面积的关系，求出 ∣AB∣ 和 ∣AF1∣+∣BF1∣ 的值。利用椭圆的定义和余弦定理求出 cos∠F1F2A 的值。利用斜率公式求出 k 的值。

（具体计算过程较复杂，此处省略。最终可求得 k=±3。）

综上，直线 l 的斜率 k 为 ±3。

通过这道例题，我们可以看到斜率积为定值和定点定向的结论在高考中的应用。在解题过程中，我们需要灵活运用这些结论和相关的几何性质来求解问题。