摘要：神经常微分方程（Neural ODEs）是深度学习领域的创新性模型架构，它将神经网络的离散变换扩展为连续时间动力系统。与传统神经网络将层表示为离散变换不同，Neural ODEs将变换过程视为深度（或时间）的连续函数。这种方法为机器学习开创了新的研究方向，尤其
神经常微分方程（Neural ODEs）是深度学习领域的创新性模型架构，它将神经网络的离散变换扩展为连续时间动力系统。与传统神经网络将层表示为离散变换不同，Neural ODEs将变换过程视为深度（或时间）的连续函数。这种方法为机器学习开创了新的研究方向，尤其在生成模型、时间序列分析和物理信息学习等领域具有重要应用。本文将基于Torchdyn（一个专门用于连续深度学习和平衡模型的pytorch扩展库）介绍Neural ODE的实现与训练方法。
Torchdyn是基于PyTorch构建的专业库，专注于连续深度学习和隐式神经网络模型（如Neural ODEs）的开发。该库具有以下核心特性：
支持深度不变性和深度可变性的ODE模型提供多种数值求解算法（如Runge-Kutta法，Dormand-Prince法）与PyTorch Lightning框架的无缝集成，便于训练流程管理本教程将以经典的moons数据集为例，展示Neural ODEs在分类问题中的应用。
首先，我们使用Torchdyn内置的数据集生成工具创建实验数据：
from torchdyn.datasets import ToyDataset import matplotlib.pyplot as plt # 生成示例数据d = Toydataset X, yn = d.generate(n_samples=512, noise=1e-1, dataset_type='moons') # 可视化数据集colors = ['orange', 'blue'] fig, ax = plt.subplots(figsize=(3, 3)) for i in range(len(X)): ax.scatter(X[i, 0], X[i, 1], s=1, color=colors[yn[i].int]) plt.show将生成的数据转换为PyTorch张量格式，并构建训练数据加载器。Torchdyn支持CPU和GPU计算，可根据硬件环境灵活选择：
import torch import torch.utils.data as data device = torch.device("cpu") # 如果使用GPU则改为'cuda'X_train = torch.Tensor(X).to(device) y_train = torch.LongTensor(yn.long).to(device) train = data.TensorDataset(X_train, y_train) trainloader = data.DataLoader(train, batch_size=len(X), shuffle=True)Neural ODEs的核心组件是向量场（vector field），它通过神经网络定义了数据在连续深度域中的演化规律。以下代码展示了向量场的基本实现：
import torch.nn as nn # 定义向量场ff = nn.Sequential( nn.Linear(2, 16), nn.Tanh, nn.Linear(16, 2) )接下来，我们使用Torchdyn的NeuralODE类定义Neural ODE模型。这个类接收向量场和求解器设置作为输入。
from torchdyn.core import NeuralODE t_span = torch.linspace(0, 1, 5) # 时间跨度model = NeuralODE(f, sensitivity='adjoint', solver='dopri5').to(device)Torchdyn与PyTorch Lightning的集成简化了训练流程。这里我们定义一个专用的Learner类来管理训练过程：
import pytorch_lightning as pl class Learner(pl.LightningModule): def __init__(self, t_span: torch.Tensor, model: nn.Module): super.__init__ self.model, self.t_span = model, t_span def forward(self, x): return self.model(x) def training_step(self, batch, batch_idx): x, y = batch t_eval, y_hat = self.model(x, self.t_span) y_hat = y_hat[-1] # 选择轨迹的最后一个点loss = nn.CrossEntropyLoss(y_hat, y) return {'loss': loss} def configure_optimizers(self): return torch.optim.Adam(self.model.parameters, lr=0.01) def train_dataloader(self): return trainloader最后训练模型：
learn = Learner(t_span, model) trainer = pl.Trainer(max_epochs=200) trainer.fit(learn)训练完成后，我们可以观察数据样本在深度域（即ODE的时间维度）中的演化轨迹：
t_eval, trajectory = model(X_train, t_span) trajectory = trajectory.detach.cpu fig, (ax0, ax1) = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 2)) for i in range(500): ax0.plot(t_span, trajectory[:, i, 0], alpha=0.1, color=colors[int(yn[i])]) ax1.plot(t_span, trajectory[:, i, 1], alpha=0.1, color=colors[int(yn[i])]) ax0.set_title("维度 0") ax1.set_title("维度 1") plt.show向量场可视化通过可视化学习得到的向量场，我们可以直观理解模型的动力学特性：
x = torch.linspace(trajectory[:, :, 0].min, trajectory[:, :, 0].max, 50) y = torch.linspace(trajectory[:, :, 1].min, trajectory[:, :, 1].max, 50) X, Y = torch.meshgrid(x, y) z = torch.cat([X.reshape(-1, 1), Y.reshape(-1, 1)], 1) f_eval = model.vf(0, z.to(device)).cpu.detach fx, fy = f_eval[:, 0], f_eval[:, 1] fx, fy = fx.reshape(50, 50), fy.reshape(50, 50) fig, ax = plt.subplots(figsize=(4, 4)) ax.streamplot(X.numpy, Y.numpy, fx.numpy, fy.numpy, color='black') plt.showTorchdyn框架的功能远不限于基础的Neural ODEs实现。它提供了丰富的高级特性，包括：
高精度数值求解器平衡模型支持自定义微分方程系统来源：deephub
