冲击信号频谱与冲击响应谱关系的研究

摘要：近日，航天科工防御技术研究试验中心刘洋团队以《冲击信号频谱与冲击响应谱关系的研究》为题在《环境技术》2024年第10期上发表最新研究内容，第一作者为刘洋。

作者有话说

近日，航天科工防御技术研究试验中心刘洋团队以《冲击信号频谱与冲击响应谱关系的研究》为题在《环境技术》2024年第10期上发表最新研究内容，第一作者为刘洋。

为探究冲击加速度信号的频谱与冲击响应谱之间的关系，本研究应用 Synthetic time-domain signal程序将有限个傅里叶分量合成加速度时域信号，并用SRS_compute程序计算该信号的冲击响应谱，从而研究冲击加速度信号的各个傅里叶分量对冲击响应谱谱型的影响。研究得到了一些结论，这些结论揭示了傅里叶分量的频率、幅值及相位对冲击响应谱谱型的一些定性和定量的影响机理，同时也分析了冲击响应谱与其各傅里叶分量的冲击响应谱之和的关系。研究所得结论对冲击响应谱试验的调试以及对冲击响应谱试验结果的分析都有一定的指导意义。

引言

随着现代工程技术的快速发展，冲击响应谱（Shock Response Spectrum, SRS）分析在航空航天、土木工程、机械工程等领域中的应用日益广泛。作为评估结构在冲击载荷作用下动态响应的关键工具，冲击响应谱试验的准确性和可靠性对于结构的安全性和可靠性评估至关重要。

自1932年Biot首次引入冲击响应谱的概念以来，许多学者对其及相关问题进行了深入研究。这些研究主要集中在冲击响应谱计算方法和试验方法两大领域。例如，Smallwood和陆圣才分别提出了高效且准确的计算方法，至今在冲击响应谱试验中仍被广泛采用。此外，庞家志等通过建立气动冲击响应谱试验系统，成功模拟了高量级冲击环境，并利用高速摄影及图像分析测速技术探究了气室压力、弹头速度、弹头质量与冲击响应谱谱型之间的关系。李旭在气动冲击响应谱试验系统的基础上，研究了试验夹具对冲击响应谱谱型的影响，并初步分析了冲击信号的幅值谱与冲击响应谱拐点之间的关系。

尽管冲击响应谱计算方法和试验方法的研究已相对充分，并且对冲击响应谱谱型的影响因素也有了一定的分析，但对冲击加速度信号的频谱特性与冲击响应谱谱型之间关系的深入探究仍显不足。然而，进一步研究二者之间的联系，对冲击响应谱试验的调试和结果分析具有重要的指导意义。因此，有必要深入探究冲击信号频谱对冲击响应谱谱型的影响机理。

本研究旨在通过数值计算的方法，深入探究冲击加速度信号的频谱特性与冲击响应谱之间的关系。本文利用Synthetic time-domain signal程序将不同频率、幅值和相位的傅里叶分量进行合成，模拟冲击加速度信号，并用SRS_compute程序计算其对应的冲击响应谱，以揭示各个傅里叶分量的幅值和相位对冲击响应谱谱型的影响机理。这些研究成果不仅有助于深入理解冲击响应谱的形成机制，还将为冲击响应谱试验的调试和结果分析提供重要的理论支持和实践指导。

1 数学方法

1.1 冲击响应谱的计算方法

一系列单自由度质量-弹簧-阻尼系统，在受到同一冲击激励时，它们各自的最大响应值(位移、速度或加速度)与它们各自的固有频率之间的关系，即为该冲击激励的冲击响应谱。本研究只关心绝对加速度值的最大响应，因此本文中提到的冲击响应谱均指绝对加速度冲击响应谱。图 1展示了一个单自由度质量-弹簧-阻尼系统，其质量、刚度和阻尼分别为，系统的激励输入为，系统的响应输出为。单自由度系统控制方程为：

式中：

—系统的固有角频率；

—系统的阻尼比。

系统的固有频率可由其固有角频率计算，即

每个单自由度系统都有自己的固有频率f,对于同一激励输入u(t),每个单自由度系统都会得到其绝对加速度响应最大值：

一系列单自由度系统即可得到一系列（f,SRS(f)）的数据点，将这些数据点在f-SRS平面上连成一曲线即为冲击激励u(t)的冲击响应谱曲线。因此，计算冲击响应谱的关键在于求解单自由度系统控制方程(1)。

对于控制方程(1)，本文采用改进的递归数字滤波方法进行求解，该方法具有较高的计算效率和计算精度等优点。设输入加速度激励u(t)的采样值为um，m=1,2,···M,其中M为总的采样点数。单自由度系统响应加速度y(t)的采样值为ym，m=1,2,···M。二者采样值之间的递推关系如下：

设采样间隔为△t，则公式（2）中各个系数的具体表达式如下：

对于低频低限问题，递推公式（2）可替换为：

本文基于改进的递归数字滤波方法编写了冲击响应谱的数值计算程序SRS_compute，本文所涉及到的冲击响应谱计算均用SRS_compute计算完成。

图1 单自由度质量-弹簧-阻尼系统

1.2时域信号合成方法

在满足狄利克莱条件(Dirichlet Conditions)的前提下，任何周期的时域信号都可以展开成傅里叶级数(Fourier series)的形式。类似地，对于非周期的有限时域信号，可进行周期延拓，然后亦可将其展开为傅里叶级数的形式。冲击响应谱试验中，冲击加速度时域信号均为有限的时域信号，本研究中将其进行周期延拓后均展开为如下傅里叶级数的形式：

其中各展开系数为：

其中T为周期延拓之后的周期，Ω=2π/T为基准角频率。为能使展开形式有更清晰的物理意义，将展开式（5）变换成如下形式：

其中

为直流分量，

为基准频率，

为第n次谐波分量的幅值，

为第n次谐波分量的相位。本研究基于方程（7）编写了冲击时域信号的合成程序Synthetic time-domain signal，本文所涉及的冲击信号合成计算均由该程序完成。

2 计算结果与分析

2.1程序验证

图 2为某次冲击响应谱试验中的冲击信号的频谱，应用Synthetic time-domain signal程序将该频谱数据合成时域信号并与原始信号进行比较，图 3即展示了合成信号与原始信号的比较结果。在图 3(a)中的“original”曲线表示试验的原始时域信号，“synthetic”曲线则表示由原始信号频谱合成的时域信号，图中显示两曲线基本重叠，从而验证了Synthetic time-domain signal程序的可靠性。在图 3(b)中的“original”曲线表示试验中得到的冲击响应谱曲线(只有100Hz~5000Hz之间的数据)，“synthetic”曲线表示由Synthetic time-domain signal程序合成的时域信号计算出的冲击响应谱曲线，图中显示两曲线基本一致，进一步验证了Synthetic time-domain signal程序的可靠性，同时也验证了SRS_compute程序的可靠性。

观察图 3(b)中合成信号的冲击响应谱曲线，曲线在其频谱的最后一个频率分量之后开始下降，并在f→+∞时，冲击响应谱的量级趋向一个定值(14 130 g)，而此极限值正好与其时域信号的最大值一致。说明冲击响应谱曲线会在其频谱的上限频率之后下降，并最终趋向一个定值，并且有

图2 某试验中冲击信号的频谱

图3 原始试验数信号与合成信号对比

2.2 傅里叶分量对冲激响应谱谱型的影响

本节所涉及的时域加速度信号均为有限个傅里叶分量合成，且不含直流分量，此时可表示为：

式中：

I—傅里叶分量的个数；

fi、Ai、φi—第i（i=1,2···I）个傅里叶分量的频率、幅值和相位，合成的时域加速度信号的时间长度为：

为探究傅里叶分量对冲击响应谱谱型定性和定量的影响，本节总共设计了10种工况进行计算研究，每种工况的各个傅里叶参数详见表 1。

表1 各工况参数

2.3 傅里叶分量的幅值对谱型的影响

图 4展示了傅里叶分量的幅值对冲击响应谱谱型的影响。为了考察单个傅里叶分量对谱型的影响，图 4所示算例中的各个傅里叶分量之间的频率间隔都设置成fi+1/fi≥10。图 4中的各个子图均展示了OC1和OCi(i=2,3)两种工况下的四种形式的冲击响应谱曲线。其中OC1和OCi分别表示这两种工况下原始的冲击响应谱曲线；OCi+0.5g表示的是OCi曲线每个频率点上的量级整体叠加上了0.5g的之后的结果；OCi*2展示的是OCi曲线每个频率点上的量级放大2倍之后的结果。

对比图 4(a)中的OC1和OC2两个曲线可发现，当低频傅里叶分量的幅值改变时，将会影响整个频段范围内的冲击响应谱曲线。对比图 4(a)中的OC1和OC2+0.5g两个曲线可发现，在f＞100的频率范围内，二者是重合的，说明此频段内二者具有相同的代数增长率，进而说明低频傅里叶分量幅值的改变对高频段的冲击响应谱曲线产生的是量级叠加的影响。对比图 4(a)中的OC1和OC2*2两个曲线可发现，在f＜100的频率范围内，二者是重合的，说明此频段内二者具有相同的对数增长率，进而说明傅里叶分量的幅值的改变对本频率点附近区域的冲激响应谱量级有等比例缩放的影响。

进一步对比图 4(b)中的OC1和OC3两曲线，可发现在f＜100的频率范围内，二者是基本重合的，说明某个傅里叶分量幅值的改变只会对该傅里叶分量的频率的附近区域及其之后频带的冲击响应谱谱型产生影响，而对其它频率范围的冲击响应谱曲线基本没有影响。图 4(b)中的OC1和OC3+0.5g在f＞5000范围内基本重叠，进一步验证了低频傅里叶分量的幅值的改变对高频段的冲击响应谱曲线产生量级叠加影响的结论。图 4(b)中的OC1和OC3*2两个曲线在f=1000的频率附近区域是重合的，也进一步验证了傅里叶分量幅值的改变对本频率点附近区域的冲激响应谱量级有等比例缩放影响的结论。

图4 傅里叶分量幅值对冲击响应谱谱型的影响

2.4 傅里叶分量的相位对谱型的影响

图5展示了单一傅里叶分量的相位对冲击谱谱型的影响，可以看到当单一傅里叶分量的频率fi≤1/T0时，其相位的改变会影响冲击响应谱谱型。当单一傅里叶分量的频率fi≥100/T0时，其相位改变几乎不会对冲击响应谱的谱型造成影响。

图5 单个傅里叶分量相位的改变对冲击响应谱谱型的影响

图6展示了，在傅里叶分量的频率fi≥100/T0的前提下，多个傅里叶分量相位改变对冲击响应谱谱型的影响。其中图6(a)比较了OC7和OC8两个算例的冲击响应谱曲线，此两个算例的频率间隔较大（fi+1/fi≥10），OC8是在OC7的基础上对其傅里叶分量2~4的相位进行了随机生成。从图中可以看出，二者的冲击响应谱曲线是基本重叠的。类似的，图 6(b)比较了OC9和OC10两个工况的曲线，它们的频率间隔较小（fi+1/fi≤1.01），此时二者的冲击响应谱曲线有了明显的区别。

对比和分析图 6(a)和图 6(b)两组图可得，当傅里叶分量之间的间隔比较大时（fi+1/fi≥10），多个傅里叶分量的相位的改变也几乎不会对冲击响应谱谱型造成影响；当傅里叶分量之间的间隔比较小时（fi+1/fi≤1.01），多个傅里叶分量的相位改变对冲击响应谱谱型影响显著。这说明，傅里叶分量的相位的改变，不是通过本傅里叶分量对冲击响应谱谱型产生影响，而是通过与它临近的傅里叶分量对冲击谱响应谱型产生影响。

此外，图 6(b)还对比OC9、OC10和OC10+0.22g三组冲击响应谱曲线，其中OC10+0.22g表示OC10曲线每个频率点上的量级叠加上了0.22g的之后的结果。图中显示，OC9、OC10的曲线在f＜100频率范围内是基本重合的，在f＞100之后分离。这说明，多个频率间隔较小的傅里叶分量的相位改变对冲击响应谱谱型的影响主要体现在改变相位的频带附近区域及其后面频带区域，而对之前的频带区域的冲击响应谱谱型影响很小。图 6(b)中的OC9和OC10+0.22的曲线在f＞5000频带区域是基本重合的，说明多个频率间隔较小的傅里叶分量的相位改变对其之后频段冲击响应谱的影响主要表现为量级叠加的影响。

图6 多个傅里叶分量相位的改变对冲击响应谱谱型的影响

2.5 冲击响应谱与每个傅里叶分量的冲击响应谱之和的关系

图 7展示了冲击响应谱与其各傅里叶分量的冲击响应谱之和的关系，其中OC4_sum曲线即为OC4工况的各傅里叶分量的冲击响应谱之和,即：

其中hf(t)为单位冲击响应函数，

为第i个傅里叶分量对应的时域加速度信号。比较两曲线，从整体上来看SRSOC4≤SRSOC4_sum、f＜50，f→1000、f→+∞等频带上SRSOC4≈SRSOC4_sum公式（10）推导了SRSOC4和SRSOC4_sum之间的大小关系，从公式（10）的推导过程中可以看到各个频率上冲击响应谱的值理论上是小于等于其各傅里叶分量的冲击响应谱之和的。依据2.1和2.2小结中的结论，公式（11）~（13）分别推导了频率在f＜50，f→1000以及f→+∞频带上时，SRSOC4和SRSOC4_sum之间的大小关系。从推导过程中可得，在这些频带上SRSOC4与SRSOC4_sum的冲击响应谱的值基本相等。所以图 7所展示的两曲线关系也验证了2.1和2.2小结中所得的结论。