摘要：题目1：如图1，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG、DC的延长线交于点F，连接AD、GD、GC。求证：（1）∠ADG=∠F；（2）若AE=CD，BE=2，求圆O的半径。

题目1：如图1，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG、DC的延长线交于点F，连接AD、GD、GC。求证：（1）∠ADG=∠F；（2）若AE=CD，BE=2，求圆O的半径。

解题思路：连接AC（图2），根据同弦对等角及垂径定理：∠ADC=∠ACD=∠AGD=θ。

在△ADF和△AGD中，∠ADF=∠AGD=θ

∠DAG=∠FAD，故∠ADG=∠F成立。

设DE=EC=m，则AE=2m，根据相交弦定理有：

AE·EB=DE·EC，即

2x2m=m²，m=4。

圆O的半径=1/2AB=1/2(AE+EB)=5。

题目2：如图1，在圆内接△ABC中，∠BAC=60°，AE⊥BC，CF⊥AB，AE、CF相交于点H，点D为弧BC的中点，连接HD、AD。求证：△AHD为等腰三角形。

解题思路：连接OA、OB、OD、OC，则OD垂直平分BC，垂足为G，OD∥AH（图2）；

根据圆周角、圆心角性质，∠BOD=∠COD=60°，则△BOD、△COD均为正三角形，G为OD的中点。

易证AH=2OG=OD，故四边形AHDO为菱形，故△AHD为等腰三角形成立。

题目3：如图1，设△ABC的内切圆分别与边BC、AC、AB相切于点D、E、F，线段AD与内切圆交于点G，过点A作平行于BC的直线分别交DF、DE的延长线于点P、Q。证明：∠PGQ=∠FGE。

解题思路：根据切线长定理、弦切角定理、平行线性质，易证A、P、F、G和A、Q、E、G均为四点共圆，再根据四点共圆性质进行倒角，∠PGQ=∠FGE得证（图2）。

来源：幽默的胖小子