摘要：大家好，请看下题。已知x2+y2=9，求3x+4y的最大值等于多少？这种题目对于初中生来说一般采取的是万能开发，就是令3x+4y等于k。然后把它变一下，x等于k减4y除以3代入x平方加y平方等于9之中。然后根据desert大于等于0这个条件，最后求出k的最大值

北大附中自主招生题：x2+y2=9，求3x+4y最大值。学霸独家解法曝光！

余老师讲初中数学。

大家好，请看下题。已知x2+y2=9，求3x+4y的最大值等于多少？这种题目对于初中生来说一般采取的是万能开发，就是令3x+4y等于k。然后把它变一下，x等于k减4y除以3代入x平方加y平方等于9之中。然后根据desert大于等于0这个条件，最后求出k的最大值，也就是3x+4y的最大值。

初中生都是这样写的，有没有更简单的方法？实际上利用x平方加y平方等于9这个条件可以采取构造法来解题，用构造法解题更为简单，甚至可以口算。具体来说看一看怎样解x平方加y平方等于9？怎样利用这个条件？这是这题的关键。

要想求3x+4y的最大值，计算很麻烦，怎么办？有一个接近，就是先求它的括号平方，算出它的括号平方等于多少？这是完全平方公式，9x平方加16y平方加上3412的两倍，24倍的xy。发现这里面仍然不能够利用x平方加y平方等于9这个条件。

下面讲构造一个式子，怎么构造？这是i，这是y，要想变利用x平方加y平方等于9这个条件，就要4x平方，3y平方，这里面是加24倍的xy。要想把它抵消掉怎么办？减，所以构造这样一个式子，4x减3y的括号平方就等于16倍的x平方加上9y的括号平方减掉24倍的xy。

勾的这个式子的目的是什么？两式相加，左边就是3x加4y的括号平方加上4x减3y的括号平方，右边9加16，25倍的x平方加y平方，24xy一正一负相互抵消，这样就构造现在就可以利用x平方加y平方等于9这个条件了，就是25乘以9乘以9。

现在看要求3x加4y的最大值，先求3x加4y括号平方的最大值，所以3x加4y的括号平方就等于25，是5的平方，93的平方，15的平方减掉4x减3y的括号平方，讨论一下就行了。当4x减3y等于0时，也就是4x等于3y，就是x比y等于4分之3，43x加4y的括号平方就最大值，它的最大值就是15的平方。所以3x加4y的最大值就是15。

因为3x加4、5、2的括号平方的最大值，等于十五的平方，开了平方了以后有正负十五最大值，那只能是正十五，所以十五。

好了，这题我们讲完了。

来源：余老师讲初中数学